13.

Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva sa jedinicom na prvom mestu, i broj, prvi iza jedinice je prost, onda se najveći broj neće nikakvim drugim brojevima meriti sem onih koji su među proporcionalnim brojevima.

Neka postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva A, B, G, D, sa jedinicom na prvom mestu, i neka je prvi iza jedinice, broj A, prost broj. Tvrdim da se najveći broj D neće meriti nikakvim drugim brojevima sem A, B, G.
Zaista, ako je moguće, neka se on meri brojem E i neka E ne bude nijedan od brojeva A, B, G. Jasno je da E nije prost broj. Jer ako je E prost broj i meri D, on mora meriti i prost broj A, koji sa njim nije isti, a to je nemoguće. Znači E nije prost broj. On je složen. Ali se svaki složen broj meri nekim prostim brojem. Prema tome broj E se meri nekim prostim brojom. Tvrdim da se on ne meri nikakvim prostim brojem sem broja A. Zaista, ako se E meri nekim drugim brojem, a E meri D, onda aj drugi broj meri i D. A tada taj broj meri i A, koji je prost broj i nije isti sa njim. A to je nemoguće. Dakle A meri E. I pošto E meri D, neka ge meri prema broju Z. Tvrdim da boj Z nije isti ni sa jednim od brojeva A, B, G. Jer ako je Z isti sa jednim od A, B; G i meri D prema broju E, tada i jedan od brojeva A, B, G meri D prema broju E. Ali jedan od brojeva A, B, G meri D prema nekom od A, B, G. I prema tome je E jedan od brojeva A, B, G. A to se ne pretpostavlja. Slično se dokazuje da se Z meri brojem A, pa se ponovo dokazuje da Z nije prost broj. Zaista, ako je tako i on meri D, meriće i A, prost broj, sa kojim on nije isti. A to je nemoguće. Prema tome Z nije prost broj. On je složen. Ali se svaki složen broj meri nekim prostim brojem. Prema tome se broj Z meri nekim prostim brojem. Tvrdim da se on ne meri nikkvim prostim brojem sem broja A. Zaista ako neki drugi prost broj meri Z, a Z meri D, onda taj drugi broj meri i D. A tada taj broj meri i A, koji je prost broj i nije isti sa njim. A to je nemoguće. Znači A meri Z. I pošto E meri D prema Z, onda E pomnoženo Z proizvodi D. Ali, isto tako i A pomnoženo sa G proizvodi D. Ali isto tako i A pomnoženo sa G proizvodi D. Prematome je proizvod A i G jednak proizvodu E i Z. Na taj način imamo proporciju: A je prema E kao Z prema G. Ali A meri E, pa i Z meri G. Neka meri prema broju H. Slično se dokazuje da H nije isti broj ni sa jednim od A i B i da se taj broj meri brojem A. I pošto Z meri G prema broju H, to Z pomnoženo sa H proizvodi G. Prema tome je proizvod A i B jednak proizvodu Z i H. Na taj način imamo proporciju: A se odnosi prema Z kao H prema G. Ali A meri Z, pa i H meri B. Neka meri prema broju Q. Slično se dokazuje da broj Q nije isti sa A. I pošto H meri B prema broju Q, H pomnoženo sa Q proizvodi B. Ali i A pomnoženo samim sobom proizvodi B. Prema tome proizvod od Q i H jednak je kvadratu nad A. Na ovaj način Q je prema A kao A prema H. Ali A meri H, znači i Q meri A, meri prost broj koji nije isti sa njim. A to je besmisleno. Prema tome, najveći broj D neće se meriti nikakvim drugim brojevima sem broja A, B, G. A to je trebalo dokazati.