EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA V
Definicije
1. Jedna veličina je deo druge veličine, manja od veće, ako manja meri veću.
2. Veća veličina je multiplum od manje, ako se meri manjom.
3. Razmera je uzajamni količinski odnos koji imaju dve veličine iste prirode.
4. Kaže se da su dve veličine u razmeri jedna prema drugoj ako neki multiplum ma koje od njih može biti veći od druge.
5. Kaže se da su dve veličine u istoj razmeri, prva prema drugoj kao treća prema četvrtoj, ako su bilo koji jednostruki multiplumi prve i treće u isto vreme ili veći, ili jednaki, ili manji od bilo kojih multipluma druge četvrte, svaki prema svakom uzeti u odgovarajućem poretku.
6. Veličine se zovu proporcionalne, ako su u istoj razmeri.
7. Ali, ako je od jednostrukih multipluma, multiplum prve veličine veći od multipluma druge, a multiplum treće nije veći od multipluma četvrte, kaže se da je razmera prve veličine prema drugoj veća od razmere treće prema četvrtoj.
Proporcija je jednakost dveju razmera.
8. Proporcija se može obrazovati od najmanje tri člana.
9. Ako su tri veličine (neprekidno) proporcionalne, kaže se da je razmera prve veličine prema trećoj dvaput viša od razmere prve veličine prema drugoj.
10. Ako su četiri veličine (neprekidno) proporcionalne, kaže se da je razmera prve veličine prema četvrtoj triput viša od razmere prve veličine prema drugoj; i tako uvek, na sličan način, dok postoji proporcionalnost.
11. Kaže se da da su prethodni članovi homologni sa prethodnima, a naredni - sa narednima.
12. Permutovana razmera je ona u kojoj se uzme razmera prethodnog (člana) prema prethodnom i narednog prema narednom.
13. Obrnuta razmera je ona u kojoj se uzme razmera narednog kao prethodnog prema prethodnom kao narednom.
14. Sastavljena razmera je ona u kojoj se uzme razmera zbira prethodnog i narednog prema narednom.
15. Rastavljena razmera je ona u kojoj se uzme razmera razlike prethodnog prema razlici prethodnog i narednog.
16. Prevrnuta razmera je ona u kojoj se uzme razmera prethodnog prema razlici prethodnog i narednog.
17. Ako postoji niz od više veličina i drugi niz od istog tolikog broja veličina, pa su one, uzete u odgovarajućim parovima, u isti razmerima, razmera jednako udaljenih je razmera prve veličine prema poslednjoj iz prvog niza, kao i razmera prve veličine prema poslednjoj iz drugog niza. Ili drukčije: razmera krajnjih bez unutarnjih.
Proporcija je redovna (ordinata) ako su od tri date veličine i drugih veličina, u istom broju, od prvih uzme razmera prethodne veličine prema narednoj, i od drugih razmera prethodne veličine prema narednoj, pa od prvih razmera naredne veličine prema preostaloj; i od drugih razmera naredne veličine prema preostaloj.
18. Proporcija je poremećena (perturbata) ako se od tri date veličine i drugih veličina, u istom broju, od prvih uzme razmera prethodne (prve) veličine prema narednoj (drugoj), a od drugih razmera ma koje (druge), kao prethodne, prema narednoj (trećoj), pa od prvih razmera naredne (druge) veličine prema preostaloj (trećoj), a od drugih razmera preostale (prve) veličine prema prethodnoj (drugoj).
1.
Ako su date neke veličine, od kojih je svaka jednakostruki multiplum odgovarajuće veličine niza drugih veličina u istom broju, biće i zbir svih prvih veličina isto toliki multiplum zbira svih drugih veličina koliki je i svaka od prvih veličina multiplum odgovarajuće druge veličine.
2.
Ako je prva veličina isto toliki multiplum druge veličine koliki je treća veličina multiplum četvrte, a peta veličina isto toliki multiplum druge koliki je multiplum šesta od četvrte, onda je zbir prve i pete isto toliki multiplum druge koliki je i zbir treće i šeste multiplum četvrte.
3.
Ako je prva veličina isto onoliki multiplum druge koliki je treća od četvrte, i obrazuju se jednakostruki miltiplumi prve i treće veličine, onda nove veličine moraju biti odgovarajući multiplumi - i to: prva od druge veličine i druga od četvrte.
4.
Ako je prva (veličina) prema drugoj u istoj razmeri kao što je treća prema četvrtoj, onda su proizvoljni jednakostruki multiplumi prve i treće veličine i jednakostruki multiplumi druge i četvrte veličine u istoj razmeri, ako su uzeti u odgovarajućem poretku.
5.
Ako je neka veličina isto onoliki multiplum od druge veličine koliki je multiplum umanjilac (prve veličine) od umanjioca (druge veličine), biće i ostatak (od prve veličine) isto toliki multiplum ostatka (od druge veličine), koliki je multiplum prva cela veličina od druge cele.
6.
Ako su dve veličine jednakostruki multiplumi od drugih veličina i umanjioci prvih veličina neki drugi jednakostruki multiplumi od tih drugih veličina, biće i ostaci ili jednaki ovim drugim veličinama ili njihovi jednakostruki multiplumi.
7.
Jednake veličine su pema istoj veličini u istoj razmeri i ista veličina je prema jednakim veličinama u istoj razmeri.
Posledica
Odavde je jasno, da ako su veličine proporcionalne, one su proporcionalne i u obrnutim razmerama. A to je trebalo dokazati.
8.
Od nejednakih veličina veća je u većoj razmeri prema jednoj istoj veličini nego manja, a ista veličina u većoj razmeri prema manjoj nego prema većoj.
9.
Veličine, koje su prema istoj veličini u istoj razmeri, jednake su među sobom, i veličine prema kojim je ista veličina u istoj razmeri jednake su.
10.
Od dve veličine, koje su u razmerama prema istoj veličini, ona je veća čija je razmera veća, i ona veličina prema kojoj je ista veličina u većoj razmeri manja je.
11.
Dve razmere jednake jednoj istoj razmeri jednake su među sobom.
12.
Ako je nekoliko proporcionalnih veličina, onda je jedna od prethodnih prema jednoj (odgovarajućoj) od narednih, kao zbir svih prethodnih prema zbiru svih narednih.
13.
Ako je prva (veličina) prema drugoj u istoj razmeri, kao treća prema četvrtoj, a razmera treće prema četvrtoj veća od razmere pete prema šestoj, biće i razmera prve prema drugoj veća od razmere pete prema šestoj.
14.
Ako je razmera prve (veličine) prema drugoj jednaka razmeri treće prema četvrtoj, a prva (veličina) je veća odtreće, biće i druga veća od četvrte, a ako je jednaka, biće jednaka, ako je manja - manja.
15.
Delovi stoje prema svojim jednakostrukim multiplumima u istoj razmeri, ako se uzmu odgovarajućim redom.
16.
Ako su četiri veličine proporcionalne, one će biti i permutovane proporcionalne.
17.
Ako su veličine, uzete zajedno, proporcionalne, one su proporcionalne i odvojeno uzete.
18.
Ako su veličine, uzete odvojeno, proporcionalne, one su proporcionalne i zajedno uzete.
19.
Ako je celo prema celom, kao umanjilac prema umanjiocu, onda je i ostatak prema ostatku, kao celo prema celom.
Posledica
Iz ovog je jasno, da ako su proporcionalne veličine uzete zajedno, onda važi i prevrnuta proporcija. A to je trebalo dokazati.
20.
Ako su tri veličine i druge, u istom broju, uzete po dve, u istoj razmeri i od jednako udaljenih prva je veća od treće, biće i četvrta veća od šeste, a ako je jednaka, biće jednaka, a ako manja - manja.
21.
Ako su tri veličine i druge, u istom broju, u istoj razmeri, ali u poremećenoj proporciji i od jednako udaljenih prva je veća od treće, biće i četvrta veća od šeste, a ako je jednaka, biće jednaka, a ako manja - manja.
22.
Ako su date neke veličine u proizvoljnom broju i druge u istom broju, koje su, uzete po dve, u istoj razmeri, onda su i jednako udaljene u istoj razmeri.
23.
Ako su date tri veličine i druge u istom broju, koje su, uzete po dve, u istoj razmeri, a za njih važi poremećena proporcija, biće i jednako udaljene u istoj razmeri.
24.
Ako je prva (veličina) prema drugoj u istoj razmeri kao treća prema četvrtoj, a peta je prema drugoj u istoj razmeri kao šesta prema četvrtoj, biće i zbir prve i pete prema drugoj u istoj razmeri kao zbir treće i šeste prema četvrtoj.
25.
Ako su proporcionalne četiri veličine, onda je zbir najveće i najmanje veći od zbira dve ostale. |