13.

Ako je prva (veličina) prema drugoj u istoj razmeri, kao treća prema četvrtoj, a razmera treće prema četvrtoj veća od razmere pete prema šestoj, biće i razmera prve prema drugoj veća od razmere pete prema šestoj.

Neka prva A bude prema drugoj B u istoj razmeri, kao treća G prema četvrtoj, D, a razmera treće G prema četvrtoj D neka bude veća od razmera prve A prema drugoj B veća od razmere pete E prema šestoj Z.
Zaista, ukoliko postoje jednakostruki multiplumi od G i E, i drugi, proizvoljni, jednakostruki multiplumi od D i Z, onoliki da multiplum od G bude veći nego multiplum od D, a multiplum od E da ne bude veći od multipluma od Z [V, Def. 7] uzmimo ih; zatim neka su H i Q jednakostruki multiplumi od G i E, a K i L drugi, proizvoljni multiplumi od D i Z, i neka je H veće od K, a Q da nije veće od L; i dalje, neka multiplum M od A bude onoliki, koliki je multiplum H od G i multiplum N od B onoliki, koliki je multiplum K od D.
Kako je onda A prema B, kao G prema D, a od A i G su jednakostruki multiplumi M i H, a od B i D opet drugi, proizvoljni, jednakostruki multiplumi N i K, biće, ako je M veće od N, i H veće od K, ako je jednako, biće jednako, ako je manje - manje [V, Def. 5]. Međutim je H veće od K, te je prema tome i M veće od N. No Q nije veća od L. Kako su M i Q jednakostruki multiplumi od A i E, a N i L drugi, proizvoljni, jednakostruki multiplumi od B i Z, biće prema tome razmera A prema B veća od razmere E prema Z [V, Def. 7].
Na ovaj način, ako je prva (veličina) prema drugoj u istoj razmeri, kao treća prema četvrtoj, a razmera treće prema četvrtoj veća od razmere pete prema šestoj, biće i razmera prve prema drugoj veća od razmere pete prema šestoj. A to je trebalo dokazati.