16.
Ako su četiri veličine proporcionalne, one će biti i permutovane proporcionalne.
Neka su A, B, G, D četiri proporcionalne veličine: A prema B, kao G prema D. Tvrdim da su one i permutovane proporcionalne: A prema G, kao B prema D.
Zaista, načinimo od A i B jednakostruke multiplume E i Z, a od G i D druge, proizvoljne, jednakostruke multiplume H i Q.
I pošto su E od A i Z od B jednakostruki multiplumi, a delovi su prema svojim jednakostrukim multiplumima u istoj razmeri [V.15], biće A prema B, kao E prema Z. Ali kako je A prema B, kao G prema D, biće i G prema D, kao E prema Z [V.11]. Dalje, pošto su H i Q jednakostruki multiplumi od G i D, biće G prema D, kao H prema Q [V.15]. A kako je G prema D, kao E prema Z, biće i E prema Z, kao H prema Q [V.11]. No, ako su četiri veličine proporcionalne, a prva veća od treće, biće i druga veća od četvrte, a ako je jednaka, biće jednaka, a ako je manja - manja [V.14]. Prema tome, ako je E veće od H, biće i Z veće od Q, a ako je jednako, biće jednako, a ako je manje - manje. A kako su E i Z jednakostruki multiplumi od A i B, a H i Q od G i D drugi, proizvoljni multiplumi, biće A prema G, kao B prema D [V, Def. 5].
Na ovaj način, ako su četiri veličine proporcionalne, one će biti i permutovane proporcionalne. A to je trebalo dokazati.