19.

Ako je celo prema celom, kao umanjilac prema umanjiocu, onda je i ostatak prema ostatku, kao celo prema celom.

Neka je celo AB prema celom GD, kao umanjilac AE prema umanjiocu GZ. Tvrdim, da je i ostatak EB prema ostatku ZD, kao celo AB prema celom GD.







Pošto je AB prema GD, kao AE prema GZ, onda važi i permutovana proporcija, naime: BA je prema AE, kao DG prema GZ [V.16]. I pošto, ako su veličine, uzete zajedno, proporcionalne, one su proporcionalne i odvojeno uzete [V.17], biće BE prema EA, kao DZ prema GZ, i permutovano: BE je prema DZ, kao EA prema ZG [V.16]. Ali po pretpostavci AE je prema GZ, kao celo AB prema celom GD. Na taj način ostatak EB je prema ostatku ZD, kao celo AB prema celom GD [V.11].
Na ovaj način, ako je celo prema celom, kao umanjilac prema umanjiocu, onda je i ostatak prema ostatku, kao celo prema celom. [A to je trebalo dokazati].
[Pošto je dokazano, da je AB prema GD, kao EB prema ZD, i, permutovano, AB je prema BE, kao GD prema ZD, znači da su proporcionalne veličine, uzete zajedno, a dokazali smo da je BA prema AE, kao DG prema GZ, a to je prevrtanje (prethodne propozicije)].