25.

Ako su proporcionalne četiri veličine, onda je zbir najveće i najmanje veći od zbira dve ostale.

Neka su četiri veličine AB, GD, E, Z proporcionalne, naime, AB je prema GD, kao E prema Z, i neka je AB najveća od njih, a najmanja Z. Tvrdim da je zbir AB i Z veći od zbira GD i E.
Zaista, neka bude AH jednako E i GQ jednako Z.
Pošto je AB prema GD, kao E prema Z, a E je jednako AH, i Z jednako GQ, biće AB prema GD kao AH prema GQ. I pošto je celo AB prema celom GD, kao umanjilac AH prema umanjiocu GQ, biće i ostatak HB prema ostatku QD, kao celo AB prema celom GD [V.19]. Ali AB je veće od GD, prema tome i HB je veće od QD. A pošto je AH jednako E, a GQ jednako Z, biće i zbir AH i Z jednak zbiru GQ i E. I stoga, ako se [nejednakim dodate jednake, onda su i cele nejednake, dakle, ako se] nejednakim HB i QD, pri većem HB, prvoj doda zbir AH i Z, a drugoj zbir GQ i E, onda će i zbir AB i Z biti veći od zbira GD i E.
Na ovaj način, ako su proporcionalne četiri veličine, onda je zbir najveće i najmanje veći od zbira dve ostale. A to je trebalo dokazati.