5.
Ako je neka veličina isto onoliki multiplum od druge veličine koliki je multiplum umanjilac (prve veličine) od umanjioca (druge veličine), biće i ostatak (od prve veličine) isto toliki multiplum ostatka (od druge veličine), koliki je multiplum prva cela veličina od druge cele.
Neka je veličina AB isto toliki multiplum veličine GD, koliki je umanjilac AE multiplum umanjioca GZ. Tvrdim, da je ostatak EB isto onoliki multiplum od ostatka ZD, koliki je multiplum celo AB od celog GD.
Zaista, načinimo da EB bude onoliki multiplum od GH koliki je AE od GZ.
Kako je AE isto toliki multiplum od GZ, koliki je EB od HG, biće AE od GZ isto toliki multiplum koliki je AB od HZ [V.1]. Ali po pretpostavci je AE isto toliki multiplum koliki je AB od GD, prema tome je AB isto toliki multiplum od HZ i GD; znači da je HZ jednako GD. Od svakog od ovih oduzmimo GZ. Tada je ostatak HG jednak ostatku ZD. I pošto su AE od GZ i EB od HG jednakostruki multiplumi, a HG je jednako ZD, biće i multiplumi AE od GZ i EB od ZD jednakostruki. Ali po pretpostavci su multiplumi AE od GZ i AB od GD jednakostruki, pa će biti jednakostruki i multiplumi EB od ZD i AB od GD. Znači da je ostatak EB isto onoliki multiplum od ZD, koliki je celo AB multiplum od celog GD.
Na ovaj način, ako je neka veličina isto onoliki multiplum od druge veličine koliki je multiplum umanjilac (prve veličine) od umanjioca (druge veličine), biće i ostatak (od druge veličine), koliki je multiplum prva cela veličina od druge cele. A to je trebalo dokazati.