12.

Ako je nekoliko proporcionalnih veličina, onda je jedna od prethodnih prema jednoj (odgovarajućoj) od narednih, kao zbir svih prethodnih prema zbiru svih narednih.

Neka su A, B, G, D, E, Z nekoliko proporcionalnih veličina; i neka je A prema B, kao G prema D i kao E prema Z. Tvrdim da je A prema B, kao i zbir A, G, E prema zbiru od B, D, Z.
Zaista, načinimo od A, G, E jednakostruke multiplume H, Q, K, a od B, D, Z druge, proizvoljne, jednakostruke multiplume L, M, N.
Kako je A prema B, kao G prema D, i kao E prema Z, a od A, G, E su jednakostruki multiplumi H, Q, K i od B, D, Z su drugi, proizvoljni, jednakostruki multiplumi L, M, N, onda će, ako je H veće od L, biti i Q veće od M, i K od N, ako je jednako - jednako, ako je manje - manje. Isto tako, ako je H veće od L, biće i zbir H, Q i K veći od zbira L, M i N, ako je jednak, biće jednak, ako je manji - manji. Dakle, H od A i zbir H, Q, K od zbira A, G i E su jednakostruki muliplumi, jer ako su nekoliko veličina jednakostruki multiplumi od isto toliko drugih nekih veličina, i to svaka od odgovarajuće, biće i zbir prvih veličina iste višestrukosti multiplum zbira drugih veličina [V.1]. Iz istih razloga su kako L, tako i zbir L, M i N jednakostruki multiplumi od B odnosno od zbira B, L i Z. Prema tome, A prema B je, kao zbir A, G i E prema zbiru B, D i Z [V, Def. 5].
Na ovaj način, ako je nekoliko proporcionalnih veličina, onda je jedna od prethodnih prema jednoj (odgovarajućoj) od narednih, kao zbir svih prethodnih prema zbiru svih narednih. A to je trebalo dokazati.