18.
Ako su veličine, uzete odvojeno, proporcionalne, one su proporcionalne i zajedno uzete.
Neka su odvojene veličine AE, EB, GZ, ZD proporcionalne, naime AE je prema EB, kao GZ prema ZD. Tvrdim, da su i zajedno uzete veličine proporcionalne, naime AB je prema BE, kao GD prema ZD.
Ako AB nije prema BE kao GD prema DZ, već je AB prema BE kao GD prema nekoj veličini, koja je bilo manja bilo veća od DZ.
Neka bude, prvo, prema manjoj DH. Ali tada je AB prema BE kao GD prema DH, to znači proporcionalne su veličine uzete zajedno; prema prethodnoj teoremi proporcionalne su i veličine uzete odvojeno [V.17]. Na taj način je AE prema EB kao GH prema HD. Međutim, po pretpostavci je AE prema EB, kao GZ prema ZD. Znači GH je prema HD, kao GZ prema ZD [V.11]. Prva veličina GH je veća od treće veličine GZ. Prema tome je i druga veličina HD veća od četvrte veličine ZD [V.14]. Ali je i manja. A to je nemoguće. Dakle AB nije prema BE, kao GD prema veličini mnjoj od ZD. Na sličan način se dokazuje da nije ni prema večoj. Znači da je prema njoj samoj.
Na ovaj način, ako su veličine, uzete odvojeno, proporcionalne, one su proporcionalne i zajedno uzete. A to je trebalo dokazati.