23.

Ako su date tri veličine i druge u istom broju, koje su, uzete po dve, u istoj razmeri, a za njih važi poremećena proporcija, biće i jednako udaljene u istoj razmeri.

Neka su A, B, G tri veličine i D, E, Z druge, u istom broju, koje su, uzete po dve, u istoj razmeri, a za njih baži poremećena proporcija, naime, A je prema B, kao E prema Z, i B prema G, kao D prema E. Tvrdim, da je A prema G, kao D prema Z.
Obrazujmo od A, B, D jednakostruke multiplume H, Q, K, a od G, E, Z druge, proizvoljne jednakostruke multiplume A, M, N.
Pošto su H i Q jednakostruki multiplumi od A i B, a delovi su prema svojim jednakostrukim multiplumimau istoj razmeri [V.15], biće A prema B, kao H prema Q. Iz istih razloga je i E prema Z, kao M prema N. Međutim, A je prema B, kao E prema Z. I prema tome H je prema Q, kao M prema N [V.11]. I pošto je B prema G, kao D prema E, biće i, permutovano, B prema D, kao G prema E [V.16]. A pošto su Q i K jednakostruki multiplumi od B i D, a delovi su prema svojim jednakostrukim multiplumima u istoj razmeri, biće B prema D, kao Q prema K [V.15]. Ali B je prema D, kao G prema E. I prema tome Q je prema K, kao G prema E [V.11]. Dalje, pošto su L i M jednakostruki multiplumi od G i E, G je prema E, kao L prema M [V.15]. Ali G je prema E, kao Q prema K. Prema tome je Q prema K, kao L prema M [V.11], i, permutovano, Q je prema L, kao K prema M [V.16]. A dokazali smo da je H prema Q, kao M prema N. Na taj na način, pošto su H, Q, L tri veličine i K, M, N druge, u istom broju, koje su, uzete po dve, u istoj razmeri, a za njih važi obrnuta proporcija, biće i za jednako udaljene, ako je H veće od L, i K veće od N, ako je jednako, biće jednako i ako manje - manje [V.21]. A H i K su jednakostruki multiplumi od A i D, a L i N od G i Z. Prema tome, A je prema G, kao D prema Z.
Na ovaj način, ako su date tri veličine i druge u istom broju, koje su, uzete po dve, u istoj razmeri, a za njih važi poremećena proporcija, biće i jednako udaljene u istoj razmeri. A to je trebalo dokazati.