EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA VIII
1.
Ako su neki brojevi, u proizvoljnom broju, neprekidno proporcionalni i krajnji od njih uzajamno prosti, oni su najmanji od brojeva koji su, u istoj razmeri sa njima.
2.
Naći onoliko koliko se traži najmanjih neprekidno proporcionalnih brojeva koji su u datoj razmeri.
3.
Ako su neki brojevi, u proizvoljnom broju, neprekidno proporcionalni i oni su najmanji od brojeva koji su u istoj razmeri sa njima, onda su krajnji od njih uzajamno prosti.
4.
Za proizvoljan broj razmera datih u najmanjim brojevima naći najmanje neprekidno proporcionalne brojeve u datim razmerama.
5.
Površinski brojevi su jedan prema drugom u razmeri sastavljeni od razmera strana.
6.
Ako u nizu proizvoljnog broja neprekidno proporcionalnih brojeva prvi ne meri drugi, onda nijedan od ostalih neće meriti nijedan drugi.
7.
Ako u nizu neprekidno proporcionalnih brojeva prvi meri krajnji, onda on meri i drugi.
8.
Ako su između dva broja umetnuti brojevi, koji su u neprekidnoj proporciji sa njima, onda će se između dva druga broja, koji su u istoj razmeri sa prvima moći umetnuti isti toliki broj neprekidno proporcionalnih brojeva.
9.
Ako su između dva uzajamno prosta broja umetnuti sa njima neprekidno proporcionalni brojevi, moći će se isti toliki broj neprekidno proporcionalnih brojeva umetnjuti i između svakog od tih brojeva i jedinice.
10.
Ako su između svakog od dva broja i jedinice umetnuti neprekidno proporcionalni brojevi, onda, koliko bude neprekidno proporcionalnih brojeva umetnuto između svakog od njih i jedinice, isto toliko će se moći umetnuti neprekidno proporcionalnih brojeva i između samih tih brojeva.
11.
Za dva kvadratna broja postoji jedan srednje proporcionalan broj i razmera kvadratnog broja prema kvadratnom je dva puta više od razmere strane prema strani.
12.
Za dva kubna broja postoje dva srednje proporcionalna broja i razmera kuba prema kubu je tri puta viša od razmere strane prema strani.
13.
Ako postoji proizvoljan broj neprekidno proporcionalnih brojeva i svaki takav broj pomnožen samim sobom proizvodi nešto (neki broj), onda su i dobijeni brojevi (kvadrati) neprekidno proporcionalni. Iako polazni brojevi, pomnoženi dobijenim, proizvode nešto (neke brojeve) onda su i tako dobijeni brojevi (kubovi) proporcionalni (to se isto produžuje i dalje).
14.
Ako kvadrat meri kvadrat, onda i strana meri stranu; i ako strana meri stranu, onda i kvadrat meri kvadrat.
15.
Ako kubni broj meri kubni broj, onda ivica meri ivicu; i ako ivica meri ivicu, onda kub meri kub.
16.
Ako kvadratni broj ne meri kvadratni broj, onda ni strana ne meri stranu; i ako strana ne meri stranu, onda ni kvadrat ne meri kvadrat.
17.
Ako kubni broj ne meri kubni broj, onda ni ivica ne meri ivicu; i ako ivica ne meri ivicu, onda ni kub ne meri kub.
18.
Za dva slična površinska broja postoji srednje proporcionalan broj; i razmera površinskog broja prema sličnom površinskom broju je dva puta viša od razmere homolognih strana.
19.
Za dva slična zapreminska broja postoje dva srednje proporcionalna broja; i razmera zapreminskog broja prema sličnom zapreminskom je tri put viša od razmera homologne ivice prema homolognoj ivici.
20.
Ako za dva broja postoji srednje proporcionalan broj, oni su slični površinski brojevi.
21.
Ako za dva broja postoje dva srednja proporcionalna broja, oni su slični zapreminski brojevi.
22.
Ako su tri broja neprekidno proporcionalna i prvi je kvadra, onda je i treći kvadrat.
23.
Ako su četiri broja neprekidno proporcionalna i prvi je kub, onda je i četvrti kub.
24.
Ako su dva broja jedan prema drugom u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom i prvi broj je kvadrat, onda je i drugi kvadrat.
25.
Ako su dva broja jedan prema drugom u razmeri kubnog broja prema kubnom i prvi broj je kub, onda je i drugi kub.
26.
Slični površinski brojevi su jedan prema drugom u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom.
27.
Slični zapreminski brojevi su jedan prema drugog u razmeri kubnog broja prema kubnom broju. |