5.
Površinski brojevi su jedan prema drugom u razmeri sastavljeni od razmera strana.
Neka A i B budu površinski brojevi i neka su strane A brojevi G i D, a strane B brojevi E i Z. Tvrdim da se brojevi A, B nalaze u razmeri sastavljenoj od strana.
Zaista, za razmere strana G prema E i D prema Z uzmimo najmanje neprekidno proporcionalne brojeve H, Q, K sa razmerama G prema E i D prema Z, tako da je G prema E kao H prema Q i D prema Z kao Q prema K. I neka D pomnoženo sa E daje L. Pošto D pomnoženo sa G daje A, a pomnoženo sa E daje L, biće G prema E kao A prema L. Ali je G prema E kao H prema Q, pa prema tome je H prema Q kao A prema L. Zatim, pošto E pomnoženo sa D proizvodi L, a pomnoženo sa Z proizvodi B, biće D prema Z kao L prema B. Ali je D prema Z kao Q prema K, znači Q se odnosi prema K kao L prema B. A dokazali smo da je H prema Q kao A prema L. Stoga prema jednakoudaljenosti i H se odnosi prema K kao A prema B. Ali razmera H prema K je sastavljena od strana. Na ovaj način i razmera A prema B je sastavljena od strana, a to je trebalo dokazati.