10.
Ako su između svakog od dva broja i jedinice umetnuti neprekidno proporcionalni brojevi, onda, koliko bude neprekidno proporcionalnih brojeva umetnuto između svakog od njih i jedinice, isto toliko će se moći umetnuti neprekidno proporcionalnih brojeva i između samih tih brojeva.
Neka su između svakog od brojeva A i B i jedinice G umetnuti neprekidno proporcionalni brojevi D, E i Z, H. Tvrdim, da koliko je između svakog od brojeva A, B i jedinice G umetnuto neprekidno proporcionalnih brojeva, isto toliko će se moći umetnuti neprekidno proporcionalnih brojeva i između brojeva A i B.
Zaista, neka D pomnoženo sa Z proizvodi Q, a D i Z, pomnoženo sa Q proizvodi K odnosno L.
Pošto se jedinica G odnosi prema broju D kao D prema E, to znači da jedinica G isto toliko puta meri broj D koliko broj D meri E. Ali jedinica G meri broj D prema broju jedinica u D pa stoga pomnoženo samom sobom proizvodi E. Dalje, pošto se jedinica G odnosi prema broju D, kao E prema A, znači da jedinica G isto toliko puta meri broj D koliko broj E meri A. Ali jedinica G meri broj D prema broju jedinica u D, znači i E meri A prema broju jedinica u D; prema tome, D pomnoženo sa E proizvodi A. Iz istih razloga i Z pomnoženo samo sobom daje H, a pomnoženo sa H proizvodi B. Tako opet D pomnoženo samo sobom daje E, a pomnoženo sa Z proizvodi Q, biće D prema Z kao E prema Q. Iz istih razloga će biti i D prema Z kao Q prema H. Prema tome je E prema Q kao Q prema H. Dalje, pošto D pomnoženo sa E i Q proizvodi A odnosno K, biće E prema Q kao A prema K. Ali je E prema Q kao D prema Z. I prema tome je D prema Z kao A prema K. Zaista, pošto svako D i Z pomnoženo sa Q proizvodi K, odnosno L, biće D prema Z kao K prema L. Ali je D prema Z kao A prema K, što znači da je A prema K kao K prema L. Osim toga, pošto Z pomnoženo svakim od Q i H proizvodi L odnosno B, biće Q prema H kao L prema B. A ako je Q prema H, kao D prema Z, biće D prema Z kao D prema B. A dokazano je da je i D prema Z kao A prema K i kao K prema L. A usled toga je A prema K kao K prema L i kao L prema B. Na ovaj način su brojevi A, K, L, B neprekidno proporcionalni. I onoliko koliko je između svakog od brojeva A, B i jedinice G umetnuto neprekidno proporcionalnih brojeva, isto toliko je umetnjuto neprekidno proporcionalnih brojeva između samih brojeva A i B. A to je trebalo dokazati.