21.
Ako za dva broja postoje dva srednja proporcionalna broja, oni su slični zapreminski brojevi.
Neka za dva broja A i B postoje dva srednje proporcionalna broja G i D. Tvrdim da su A i B slični zapreminski brojevi.
Zaista, uzmimo tri najmanja broja E, Z, H koji su u istoj razmeri sa brojevima A, G, D. Tada su krajnji E i H uzajamno prosti, pošto za brojeve E i H postoji jedan srednje proporcionalan broj Z, biće E i H slični površinski brojevi. Neka su Q i K strane broja E, a L i M strane H. Tada je jasno da su brojevi E, Z, H neprekidno proporcionalni prema M. I pošto su brojevi E, Z, H najmanji od onih koji imaju sa brojevima A, G, D iste razmere, i u istoj su količini brojevi E, Z, H sa brojevima A, G, D, biće prema jednako udaljenosti E prema H, kao A prema D. Brojevi E i H su uzajamno prosti, prosti i najmanji, a najmanji mere brojeve koji su sa njima u istoj razmeri isti broj puta i to veći mere veće i manji mere manje, tj. prethodni - prethodne i naredni - naredne. Prema tome, E meri A isti broj puta kao što i H meri D. Neka u N bude onoliko jedinica koliko puta E meri A. Tada N pomnoženo sa E proizvodi A. Ali, E je proizvod od Q i K. Prema tome, N pomnoženo proizvodom Q i K daje A. Na ovaj način broj A je zapreminski broj, a njegove ivice su Q, K, N. Zatim, pošto su E, Z, H, najmanji od brojeva koji su u razmeri brojeva G, D, B, onda E meri isti onoliki broj puta broj G kao što H meri B. Neka u X bude onoliko jedinica koliko puta E meri G. Prema tome, H meri B prema broju jedinica u X i na ovaj način X pomnoženo sa H proizvodi B. Ali, H je proizvod od L i M, pa prema tome X pomnoženo sa proizvodom L i M daje B. Na ovaj način B je zapreminski broj, a ivice su mu L, M, X. Tako su A i B zapreminski brojevi.
Tvrdim da su oni i slični. Zaista, pošto brojevi N i X pomnoženi sa E proizvode A odnosno G, biće N prema X kao A prema G, tj. kao E prema Z. Ali, E prema Z je kao Q prema L i kao K prema M. I prema tome je Q prema L kao K prema M i kao N prema X. A kako su Q, K, N ivice broja A, a X, L, M ivice broja B, onda su A i B slični zapreminski brojevi. A to je trebalo dokazati.