20.
Ako za dva broja postoji srednje proporcionalan broj, oni su slični površinski brojevi.
Neka za dva broja A i B postoji srednje proporcionalni broj G. Tvrdim, da su A i B slični površinski brojevi.
Zaista, uzmimo najmanje brojeve D, E koji su u istoj razmeri sa brojevima A i G. Tada D meri A isto onoliko puta koliko E meri G. Neka D onoliko puta meri A, koliko je jedinica u Z; znači Z pomnoženo sa D proizvodi A. Na ovaj način je A površinski broj, i njegove strane su D i Z. Zatim, pošto su D i E najmanje od onih koji su u istoj razmeri sa G i B, onda koliko puta D meri G, toliko puta i E meri B. I koliko puta E meri B, neka je toliko jedinica u H. Prema tome, E meri B prema broju jedinica u H i H pomnoženo sa E proizvodi B. Na ovaj način je B površinski broj, a njegove strane su E i H. Prema tome su A i B površinski brojevi. Tvrdim da su oni i slični. Zaista, pošto Z pomnoženo sa D proizvodi A, a pomnoženo sa E proizvodi G, biće D prema E kao A prema G, tj. i kao G prema B. Zatim, pošto E pomnoženo svakim od Z i H proizvodi G odnosno B, biće Z prema H kao G prema B; ali G je prema B kao D prema E. I prema tome je D prema E kao Z prema H. A, posle permutacije, D je prema Z kao E prema H. Na ovaj način su A i B slični površinski brojevi i njihove strane su proporcionalne. A to je trebalo dokazati.