EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA XIII
1.
Ako je duž podeljena neprekidno, biće kvadrat na zbiru većeg dela i polovine cele duži jednak petostrukom kvadratu na toj polovini.
2.
Ako je kvadrat na nekoj duži pet puta veći od kvadrata na jednom njenom delu i udvostručeni taj deo podeljen neprekidno, biće preostali deo polazne duži veći deo.
Lema
A da je dvostruko AG veće od BG, ovako se dokazuje.
3.
Ako je neka duž podeljena neprekidno, biće kvadrat zbira manjeg dela i polovine većeg dela pet puta veći od kvadrata na polovini većeg dela.
4.
Ako je duž podeljena neprekidno, biće zbir kvadrata na celoj duži i na manjem delu jednak trostrukom kvadratu na većem delu.
5.
Ako je neka duž podeljena neprekidno, pa joj se doda veći deo podeljene duži, biće i cela dobivena duž podeljena neprekidno i njen veći deo je polazna duž.
6.
Ako je racionalna duž podeljena neprekidno, biće svaki od delova iracionalan, takozvana apotoma.
7.
Ako su kod jednakostranog petougla tri ugla, bila uzastopna ili ne, jednaka među sobom, petougao je jednakougli.
8.
Ako kod jednakostranog i jednakouglog petougla dve duži spajaju uglove preko jednog, one dele jedna drugu neprekidno i njihovi veći delovi jednaki su strani petougla.
9.
Zbir strane šestougla i desetougla, upisanih u isti krug, podeljen je neprekidno i veći deo je strana šestougla.
10.
Ako je u krug upisan jednakostran petougao, biće kvadrat strane petougla jednak zbiru kvadrata strane šestougla i strane desetougla upisanih u isti krug.
11.
Ako je u krug sa racionalnim prečnikom upisan jednakostran petougao, njegova strana je iracionalna, takozvana ``manja''.
12.
Ako je u krug upisan jednakostran trougao, kvadrat na strani tog trougla je triput veći od kvadrata na poluprečniku.
13.
Konstruisati piramidu, obuhvatiti je datom sferom, i dokazati da je kvadrat na prečniku sfere jedan i po puta veći od kvadrata na ivici piramide.
Lema
Dokazati da je AB prema BG kao kvadrat na AD prema kvadratu na DG.
14.
Konstruisati oktaedar, obuhvatiti ga sferom, kao u predhodnom slučaju, i dokazati da je kvadrat na prečniku sfere dvaput veći od kvadrata na ivici oktaedra.
15.
Konstruisati kocku, obuhvatiti je sferom, kao i piramidu, i dokazati da je kvadrat na prečniku sfere triput veći od kvadrata na ivici kocke.
16.
Konstruisati ikosaedar, obuhvatiti ga sferom, kao i ranije navedena tela, i dokazati da je ivica ikosaedra iracionalna i to takozvana ``manja''.
Posledica
Iz ovog je jasno da je kvadrat na prečniku sfere pet puta veći od kvadrata na poluprečniku kruga pomoću kog se opisuje ikosaedar, i da je prečnik sfere jednak zbiru strane šestougla i dve strane desetougla upisanih u taj krug. A to je trebalo dokazati.
17.
Konstruisati dodekaedar, obuhvatiti ga sferom, kao i ranije navedena tela (figure), i dokazati da je ivica dodekaedra iracionalna, takozvana apotoma.
Posledica
Iz ovog je jasno, da je pri neprekidnoj podeli ivice kocke veći deo ivica dodekaedra. A to je trebalo dokazati.
18.
Odrediti ivice pet proučenih tela i uporediti ih među sobom.
Lema
Da ugao jednakostranog i jednakouglog petougla iznosi prav ugao i petinu pravog, dokazuje se ovako. |