6.
Ako je racionalna duž podeljena neprekidno, biće svaki od delova iracionalan, takozvana apotoma.
Neka je AB racionalna duž podeljena tačkom G neprekidno i neka je AG veći deo. Tvrdim da je svaka od AG i GB iracionalna, takozvana apotoma.
Zaista, produžimo BA i odmerimo AD kao polovinu BA. Pošto je duž AB podeljena tačkom G neprekidno i većem odsečku AG dodata duž AD jednaka polovini AB, biće kvadrat na GD pet puta veći od kvadrata na DA [XIII.1]. Prema tome kvadrat na GD se odnosi prema kvadratu na DA kao broj prema broju. Znači kvadrat na GD je samerljiv sa kvadratom na DA [X.6]. No kvadrat na DA je racionalan, jer je racionalno DA kao polovina racionalne duži AB. Te prema tome je racionalan i kvadrat na GD [X, Def. 4]; znači racionalno je i GD. I pošto kvadrat na GD prema kvadratu na DA nije u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, biće GD nesamerljivo po dužini sa DA [X.9]. Prema tome su GD i DA racionalni ali samerljivi samo u stepenu. Na ovaj način AG je apotoma [X.73]. Dalje, pošto je AB podeljeno neprekidno i AG je veći deo, biće pravougaonik obuhvaćen od AB i BG jednak kvadratu na AG [VI, Def. 3, VI.17]. Na taj način kvadrat na apotomi AG pretvoren je u pravougaonik sa racionalnom dužinom AB i širinom BG. No kvadrat na apotomi pretvoren u pravougaonik sa racionalnom dužinom ima za širinu prvu apotomu [X.97]. Prema tome je GB prva apotoma. A dokazano je da je i GA apotoma.
Na taj način, ako je racionalna duž podeljena neprekidno, biće svaki od delova iracionalan, takozvana apotoma. A to je trebalo dokazati.