U trouglu \(ABC\) težišna duž \(AA_1\) ima dužinu \(15\) cm. Odrediti dužine \(AT\) i \(TA_1\), gde je \(T\) težište trougla.
Težište deli svaku težišnu duž u odnosu \(2:1\), pri čemu je duži deo uz teme. Ako je \(TA_1=x\), tada je \(AT=2x\), pa važi
\[2x+x=15.\]Odavde je \(x=5\). Zato je \(AT=10\) cm i \(TA_1=5\) cm.
Data su temena trougla \(A(-2,1)\), \(B(4,1)\) i \(C(1,7)\). Odrediti koordinate njegovog težišta.
Koordinate težišta jednake su aritmetičkim sredinama odgovarajućih koordinata temena:
\[ T\left(\frac{-2+4+1}{3},\frac{1+1+7}{3}\right)=T(1,3). \]Odrediti položaj ortocentra \(H\) i centra opisane kružnice \(O\) za trougao čiji su uglovi \(50^\circ\), \(60^\circ\) i \(70^\circ\), a zatim za trougao čiji su uglovi \(110^\circ\), \(30^\circ\) i \(40^\circ\).
U prvom slučaju sva tri ugla manja su od \(90^\circ\), pa je trougao oštrougli. Ortocentar \(H\) i centar opisane kružnice \(O\) nalaze se u njegovoj unutrašnjosti.
U drugom slučaju jedan ugao iznosi \(110^\circ\), pa je trougao tupougli. Tačke \(H\) i \(O\) nalaze se izvan trougla.
Stranice trougla imaju dužine \(13\) cm, \(14\) cm i \(15\) cm, a njegova površina iznosi \(84\ \mathrm{cm}^2\). Odrediti poluprečnik upisane kružnice.
Poluobim trougla je
\[s=\frac{13+14+15}{2}=21\ \mathrm{cm}.\]Iz \(P=rs\) dobijamo
\[r=\frac{P}{s}=\frac{84}{21}=4\ \mathrm{cm}.\]U trouglu \(ABC\) ugao kod temena \(A\) je prav, a hipotenuza \(BC\) ima dužinu \(10\) cm. Odrediti položaje ortocentra \(H\) i centra opisane kružnice \(O\) i izračunati poluprečnik opisane kružnice.
Kod pravouglog trougla dve visine poklapaju se sa katetama, pa je njihov presek teme pravog ugla. Zato je \(H=A\).
Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se u središtu hipotenuze, pa je \(O\) središte duži \(BC\). Pošto je hipotenuza prečnik opisane kružnice, važi
\[R=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}.\]Centar opisane kružnice jednog trougla je \(O(-2,1)\), a njegov ortocentar \(H(4,7)\). Koristeći osobine Ojlerove prave odrediti koordinate težišta \(T\).
Na Ojlerovoj pravoj važi \(OT:TH=1:2\), pa se \(T\) nalazi na jednoj trećini duži \(OH\), računajući od tačke \(O\).
\[ x_T=-2+\frac{1}{3}\bigl(4-(-2)\bigr)=0, \] \[ y_T=1+\frac{1}{3}(7-1)=3. \]Prema tome, težište trougla je \(T(0,3)\).