Značajne tačke trougla

Težište

Tačke \(A_1\), \(B_1\) i \(C_1\) su redom središta stranica \(BC\), \(CA\) i \(AB\). Težišne duži \(AA_1\), \(BB_1\) i \(CC_1\) seku se u težištu \(T\), koje je uvek unutar trougla.

Težište deli svaku težišnu duž u odnosu \(2:1\), pri čemu je duži deo bliži temenu.

\[AT:TA_1=2:1.\]
Težište trougla ABC Tri težišne duži trougla seku se u tački T. A B C A1 B1 C1 T

Ortocentar

Ako su \(A'\), \(B'\) i \(C'\) podnožja visina, prave \(AA'\), \(BB'\) i \(CC'\) seku se u ortocentru \(H\).

Pri tome važi \(AA'\perp BC\), \(BB'\perp CA\) i \(CC'\perp AB\).

Kod oštrouglog trougla ortocentar je unutra, kod pravouglog je teme pravog ugla, a kod tupouglog se nalazi izvan trougla.

Ortocentar oštrouglog trougla ABC Tri visine oštrouglog trougla seku se u tački H. A B C A' B' C' H

Centar opisane kružnice

Simetrale stranica seku se u centru opisane kružnice \(O\). Ova tačka jednako je udaljena od sva tri temena.

Kružnica sa centrom \(O\) i poluprečnikom \(R\) prolazi kroz temena \(A\), \(B\) i \(C\).

\[OA=OB=OC=R.\]

Kod oštrouglog trougla centar je unutra, kod pravouglog je središte hipotenuze, a kod tupouglog se nalazi izvan trougla.

Centar opisane kružnice trougla ABC Simetrale stranica seku se u tački O, a opisana kružnica prolazi kroz sva tri temena. A B C O

Centar upisane kružnice

Simetrale unutrašnjih uglova seku se u centru upisane kružnice \(S\). Ova tačka je jednako udaljena od sve tri stranice i uvek je unutar trougla.

Tačke \(D\), \(E\) i \(F\) su tačke dodira upisane kružnice sa stranicama trougla.

\[SD=SE=SF=r.\]

Ako je \(P\) površina trougla, a \(s\) njegov poluobim, važi \(P=rs\).

Centar upisane kružnice trougla ABC Simetrale unutrašnjih uglova seku se u tački S, a upisana kružnica dodiruje sve tri stranice. A B C D E F S