Na prelomu 19. i 20. veka, kada su se obrisi novovekovne matematike već dobro videli, u srpskoj nauci pojavio se jedan nov naraštaj. Dolazak te nove generacije bio je prekretna tačka za razvoj matematičkih nauka u Srbiji. Jer pre njene pojave, u Srbiji prave nauke nije bilo, dok se evo do današnjih dana prostiru talasi uticaja dela i rada pripadnika te generacije. Među matematičarima s kraja 19. i početka 20. veka visoko istaknuto mesto zauzima profesor Velike škole i Beogradskog univerziteta, akademik Bogdan Gavrilović. Uz Dimitrija Nešića i Mihaila Petrovića, Gavrilović je najzaslužniji za stvaranje matematičke škole u Beogradu i nastanak Beogradskog univerziteta.

Ovde ćemo pokušati da izložimo neke elemente lične i naučne biografije profesora Bogdana Gavrilovića.

Bogdan Gavrilović je rođen u Novom Sadu 1. januara 1864. godine (20. decembra 1863. po Julijanskom kalendaru) od majke Sofije i oca Aleksandra. Prema nekim podacima Gavrilovićeva porodica vodi poreklo iz Hercegovine, naime akademik Radivoj Kašanin u nekrologu posvećenom Bogdanu Gavriloviću spominje da se Gavrilovićev čukundeda doselio iz tih krajeva. Detinjstvo i prvu mladost Bogdan provodi u Novom Sadu, ili "Srpskoj Atini" kako su taj duhovni i kulturni centar Vojvodine tada zvali. Darovit i vredan, Bogdan Gavrilović bio je najbolji učenik novosadske gimnazije, o čemu je pisao i Jovan Jovanović Zmaj u svom listu Neven, koja je bila prvoklasna među obrazovnim srpskim institucijama. Tamo se učilo bolje nego na drugim mestima, jednako stari jezici i klasična literatura kao i prirodne nauke i matematika. Pored obdarenosti, njegovom obrazovanju je doprinelo i vaspitanje koje je dobio u svojoj porodici: deda mu je bio učitelj i upravitelj osnovne škole, otac profesor i direktor Srpske Gimnazije u Novom Sadu. Imajući tako dobru pripremu, Gavrilović kao pitomac srpske institucije Tekelijanum, sa lakoćom i odličnim uspehom završava studije na Filozofskom fakultetu Univerziteta u Budimpešti, i to na Odseku za matematiku, fiziku i astronomiju.

Već u svojoj dvadeset trećoj godini Gavrilović brani na univerzitetu u Budimpešti doktorsku disertaciju o analitičkim funkcijama "O predstavljanjima jednogranih analitičkih funkcija" na mađarskom jeziku ( "Az egyértékü analytikus függvények elöállitásairól"), i tako 11. juna 1987. dobija diplomu doktora matematičkih nauka. Pre toga, kao uslov za sticanje doktorata, Gavrilović je položio ispit iz matematike (juna 1986. pred komisijom koju čine G. Kondor i Á. Scholtz), astronomije (juna 1887. kod G. Kondora) i eksperimentalne fizike (juna 1887. kod L. Eötvös-a i A. Scholtz-a). Spomenimo da je u 19. veku bilo ukupno šest doktora matematičkih nauka srpskog porekla. Pored Bogdana Gavrilovića to su bili Dimitrije Danić, Vladimir Varićak, Đorđe Petković, Mihailo Petrović i Petar Vukićević.

Posle Budimpešte, Gavrilović se usavršavao i boravio u poznatim naučnim centrima Zapadne Evrope: Nemačkoj, Švajcarskoj i Francuskoj. Tako, u Berlinu sluša predavanja kod čuvenog matematičara Vajerštrasa.

Pored naučnog, Gavrilović je bio i sportskog duha. Već kao gimnazijalac bio je član novosadskog gimnastičkog društva koje je osnovao pesnik Laza Kostić. Kao student, mladić lepog izgleda i visokog stasa, provodi neko vreme u Pragu, na poznatoj sportskoj školi gde se usavršava u gimnastici i mačevanju. To njegovo zanimanje za sport trajaće i dalje. Tako će kasnije u Beogradu biti član i predsednik Beogradskog društva za gimnastiku i mačevanje, a potom, u poslednjoj deceniji prošlog veka osnivač i predsednik sportskog društva "Sokol" u Beogradu. Možda se u tome ugledao na svog profesora Vajerštrasa koji je jedno vreme, na početku karijere, bio učitelj gimnastike, a osim toga bio je i dobar mačevalac.

Bogdan Gavrilović, kao mlad matematičar u usponu, dolazi u Beograd 1887. godine gde provodi šezdeset godina neprekidne aktivnosti sve do svoje smrti 1947. godine. Odmah postaje nastavnik Više škole (u konkurenciji sa Dimitrijem Danićem), a već 1892. počasni (redovni) profesor. U to vreme Velika škola, koja je prema zakonu o ustrojstvu bila "naučno zavedenije za višu i stručnu izobraženost", posle reforme Liceja 1863. bila je podeljena na tri fakulteta: Filozofski, Pravni i Tehnički. Škola je bila smeštena u, za ono vreme velikoj zgradi koja je danas poznata kao Kapetan-Mišino zdanje. Tu zgradu darivao je svom narodu za potrebe Velike škole Kapetan Miša Anastasijević. U vreme kada je Gavrilović počeo da predaje, na Filozofskom fakultetu postojala su dva odseka: Istorijsko-filozofski i Prirodno-matematički. Zanimljivo je da su se matematika i prirodne nauke do 1873. predavale samo na Tehničkom fakultetu. Uvođenjem matematike na Filozofskom fakultetu, formira se Katedra za matematiku. Dimitrije Nešić bio je jedini profesor na ovoj katedri do dolaska Bogdana Gavrilovića. Tada je predmet matematika na Velikoj školi bio podeljen na dve katedre: za višu i nižu matematiku. Katedru za višu matematiku preuzeo je Dimitrije Nešić dok je Katedra za nižu matematiku pripala Bogdanu Gavriloviću. Bogdan Gavrilović u vreme zapošljavanja nije imao državljanstvo Kraljevine Srbije. Zato je ukazom kralja Milana postavljen za "kontraktualnog suplenta Filozofskog fakulteta Velike škole pod uslovima za strane podanike" (Prosvetni glasnik 8 (1887), str. 682.). Spomenimo da su nastavnici u to vreme mogli imati zvanje profesora, suplenta i docenta. Postojalo je i zvanje honorarnog profesora za koje je ministar mogao dati postavljenje nezavisno od Saveta Velike škole.

U okviru svojeg kursa matematike, Gavrilović je predavao analitičku geometriju, trigonometriju i osnove školske matematike. U to vreme već je postajao udžbenik trigonometrije na srpskom jeziku. Udžbenik je napisao Dimitrije Nešić i objavio već 1875. Gavrilović je koristio ovu knjigu za svoj kurs trigonometrije, i istovremeno, uz predavanja, pripremao udžbenik iz analitičke geometrije, za koji će se ispostaviti da je to njegovo najobimnije delo.

Na Visokoj školi, od koje 1905. godine nastaje Beogradski univerzitet, Gavrilović drži nastavu pedeset godina, zajedno sa Mihailom Petrovićem, velikim srpskim matematičarem. Mihailo Petrović, pet godina mlađi od Gavrilovića, vraća se iz Francuske u domovinu 1894. godine i postaje profesor matematike na Visokoj školi, odmah po dobijanju doktorata na pariskoj Sorboni. Iste godine izdvaja se nastava matematike za studente Tehničkog fakulteta koju preuzima Bogdan Gavrilović. Mihailo Petrović ostaje na Filozofskom fakultetu.

Po opštem mišljenju, što ističe i Milutin Milanković u nekrologu posvećenom Bogdanu Gavriloviću, njih dvojica su postavili temelj naše matematičke škole. Gavrilović i Petrović su bili komplementarni po svojim interesovanjima u matematici. Petrović je pre svega bio profesor analize sa primenama i nije se mnogo zanimao za algebru i geometriju. Nasuprot tome, Bogdan Gavrilović se bavio algebrom, geometrijom i teorijom funkcija (kompleksne promenljive). U okviru algebre posebno su ga zanimale kombinatorika i teorija brojeva. Svoje nastavno delovanje u geometriji, kojoj je pristupao preko Dekartove analitičke metode koordinata, prikazao je u svom glavnom delu, tada velike naučne vrednosti, "Analitička geometrija", objavljenom 1896. godine. Ova klasična matematička disciplina bila je već dosta raskrčena oblast matematike, i tu nije bilo mnogo prostora za nova otkrića, za razliku od oblasti u kojoj je Petrović radio. Ali zato Bogdan Gavrilović u svojoj knjizi "Teorija determinanata" objavljenoj 1899. godine, kao i u dvadesetak radova objavljenih u "Glasu" Srpske Akademije Nauka i u "Radu" Akademije Nauka i umetnosti iz Zagreba, pokazuje svoje duboko znanje, jednu široku učenost i pravu matematičku veštinu.

Kako je vreme odmicalo, vidici i zanimanje Bogdana Gavrilovića su se širili dalje od matematičkih nauka. Matematičar po studijama, humanista po obrazovanju znao je dobro dva klasična jezika i važne moderne jezike. Koliko i sama matematika, njega je podjednako zanimalo kako se prirodne i matematičke nauke odslikavaju na razne vidove razvoja ljudskog društva i civilizacije, ali isto tako i na kulturna događanja u svetu.

Svoja razmišljanja o ovim aspektima egzaktnih nauka, Gavrilović je predstavio u nizu govora i eseja o čemu svedoče i nazivi nekih od njih: "Civilizacija i nauka", "Socijalni zadatak Univerziteta", "Kultura i harmonija", "O racionalizmu XVIII veka i njegovom uticaju na društvo tog vremena", "O istoriji kao nauci i smislu njenom". Ipak, među ovim spisima izdvaja se jedan biser besedništva; to je pristupna akademska beseda o problemu prostora, hiper-prostora i kontinuuma koju je održao u Akademiji 7. marta 1926. O njoj će biti više reči nešto kasnije. Čitajući te spise saznajemo da Bogdan Gavrilović nije bio samo naučnik, već i prosvetitelj i kulturni radnik sa evropskim shvatanjem nauke i kulture. Ovom svojom aktivnošću u velikoj meri je doprineo osnivanju i razvoju naših naučnih institucija i prosvećivanju našeg naroda.

Već 1894. godine osniva se biblioteka Matematičkog seminara koja je generacijama matematičara Beogradskog univerziteta pružala široke mogućnosti za naučni rad. Do I svetskog rata o biblioteci su brinuli Bogdan Gavrilović i Mihailo Petrović, da bi se potom uključili i ostali matematičari. Biblioteka je raspolagala bogatim fondom knjiga, kompletima časopisa, monografijama i ostalom matematičkom literaturom. Kada su se matematičari Filozofskog fakulteta 1938. godine preselili u novu zgradu izgrađenu do stare zgrade Filozofskog fakulteta u Kapetan-Mišinom zdanju, preseljena je na isto mesto i biblioteka. Na žalost, samo dva dana pre oslobođenja Beograda, 18. oktobra 1944. godine, u povlačenju neprijateljska vojska pali biblioteku i ona biva uništena. Od cele biblioteke ostaje svega nekoliko knjiga koje su se zatekle pozajmljene kod pojedinaca. Iz sačuvane prve knjige inventara do 1907. saznajemo da je Bogdan Gavrilović svojeručno upisivao knjige, do broja 110, i Mihailo Petrović preko toga do broja 301.

Priča o životnom putu Bogdana Gavrilovića nerazdvojna je od razvoja Beogradskog univerziteta i matematičkih nauka u Srbiji. Krajem 19. veka i naročito početkom 20. veka dolazi do ubrzanog razvoja visokog školstva u Srbiji. Tako, 1896. godine Velika škola dobija izvesnu autonomiju, a na stručnom planu nastava matematike se približava evropskom nivou. Godine 1900. zakonskim uredbama dalje se diže nivo nastave i naučnog rada. Tada fakulteti postaju samostalne celine Velike škole i dobijaju organizaciju kakvu će imati do posle Drugog svetskog rata. Godine 1900. stvara se Seminar za matematiku, mehaniku i teorijsku fiziku u čijem radu učestvuju nastavnici matematike, mehanike i astronomije sa Filozofskog i Tehničkog fakulteta. U radu tog seminara glavnu ulogu imaju Mihailo Petrović i Bogdan Gavrilović. Posle dugogodišnjih priprema i odlaganja, Velika škola 1905. se transformiše u univerzitet koji je "najviše samoupravno telo za višu stručnu nastavu i obrađivanje nauke". Na celom Univerzitetu postavlja se osam redovnih profesora koji biraju ostale nastavnike univerziteta. Mihailo Petrović se nalazi među ovih osam profesora, a Bogdan Gavrilović odmah biva biran za redovnog profesora Tehničkog fakulteta. Tako Petrović i Gavrilović dobijaju vodeću ulogu u organizaciji naučnog rada i nastave na tek osnovanom univerzitetu.

Daljem razvoju nastave doprinosi samostalnost nastavnika u izboru programa i izvođenju nastave bez administrativnih intervencija. U Svetosavskoj besedi O prosvećenom idealizmu i negovanju njegovu višom nastavom koju je održao januara 1901. godine u Kapetan-Mišinom zdanju, pred kolegama i kulturnom elitom Beograda, Bogdan Gavrilović se zalaže upravo za ovakve stavove. Brani slobodouman i samostalan duh univerziteta tako što se suprostavlja Napoleonovom apsolutističkom i politizovanom mišljenju: "Njemu, Napoleonu je glavno bilo da uguši slobodnu reč na univerzitetu. S toga je naročito uperio svoje strele protiv duhovnih nauka". U istoj besedi, Gavrilović govori o tome da nosilac razvoja nauke treba da bude Velika škola (koja u tom trenutku još nije postala univerzitet) i traži da ona ojača svoje osnove i preraste u univerzitet: "... dok je na Univerzitetu, a naročito Filozofskom fakultetu koji je duša duše njegove, kultus čiste nauke prvi i poslednji zadatak. Sa tih razloga treba našoj sadašnjoj Velikoj školi, iako nas za nju vezuju tolike lepe uspomene, proširiti i ojačati temelje, na kojima će ona videlom samostalnog naučnog ispitivanja moralno u osnovi preobraziti naše društvo i zamahnuti ceo život naš novim duhom - duhom prosvećenog idealizma. Da, nama treba jedan naučni centar nauke, jedan univerzitet, jedna velika škola s novim pravcem i s novim duhom, škola kojoj će pasti u deo ta čast, da na svežem i toplom vrelu nauke i istine podmladi intelektualni, moralni i politički život našeg naroda." Ovakva javna istupanja i zalaganje Bogdana Gavrilovića neosporno su doprinela razvoju nauke na Velikoj školi i njenom prerastanju u univerzitet.

Gavrilović je u to vreme u svojim četrdesetim godinama i na naučnom vrhuncu. Iza sebe ima već dva vrlo cenjena udžbenika i objavljen veći broj kvalitetnih naučnih radova. To ne ostaje nezapaženo i Gavrilović bude izabran za dopisnog člana Akademije nauka 1901. i već 1905. za redovnog člana. Sledeće godine (1906.) izabran je za dopisnog člana Jugoslovenske akademije znanosti i umjetnosti u Zagrebu. U tom periodu ne samo da objavljuje radove u Akademijinom "Glas"-u, već zajedno sa M. Petrovićem (i D. Nešićem do 1904.) predlaže i recenzira radove za taj časopis.

Do 1909. predavanja iz teorijske matematike na Filozofskom fakultetu drže Mihailo Petrović i Bogdan Gavrilović. Te godine na njihov predlog na Beogradski univerzitet poziva se iz Beča Milutin Milanković koji će predavati obiman predmet primenjene matematike koji je zapravo najvećim delom kurs mehanike. U tom periodu Gavrilović dobija visoke administrativne funkcije na Univerzitetu. Tako, 1909. i naredne godine ima funkciju dekana Tehničkog fakulteta. U nastavku, iste 1910. postavljen je za rektora Beogradskog univerziteta i tu visoku dužnost obavlja do jeseni 1913. godine. Zanimljivo je videti koje predmete Bogdan Gavrilović predaje u to vreme (1906-1914): teoriju eliptičnih funkcija i njihovu primenu u algebri, geometriji i mehanici, teoriju specijalnih determinanata, osnove moderne analitičke geometrije, račun ostataka i njegove primene. U međuvremenu nauka na Beogradskom univerzitetu je toliko uznapredovala da se na njemu brani prvi doktorat matematičkih nauka. Taj doktorat iz oblasti diferencijalnih jednačina brani 1912. Mladen Berić (1885-1935), suplent Prve beogradske gimnazije i asistent profesora M. Petrovića. Sledeće godine Sima Marković brani doktorat na temu Riccati-eve diferencijalne jednačine, takođe kod M. Petrovića. Na žalost rad Beogradskog univerziteta je često prekidan zbog ratova. Školske godine 1912/13, Univerzitet nije radio zbog balkanskih ratova. Tokom školske 1913/14 Univerzitet je ponovo otvoren, ali prvi svetski rat naglo prekida razvoj Univerziteta. Studenti i profesori odlaze u rat. Avgusta 1914, tek što je rat počeo, srušen je u bombardovanju deo zgrade Kapetan-Mišinog zdanja. Neprijatelj pljačka napuštenu i porušenu zgradu.

Odmah po završetku rata, 1919. godine, iako u teškim okolnostima, Univerzitet počinje sa radom. Nastava i univerzitetski propisi prilagođeni su potrebama obnove i unapređenja zemlje, jer je više generacija studenata i stručnjaka stradalo, a Univerzitet je bio desetkovan u proteklim ratovima. Početkom dvadesetih godina univerzitet za kratko vreme doživljava ubrzan razvoj: broj nastavnika se povećava, a iz Rusije izmedju ostalih profesora dolaze matematičari Nikola Saltikov i Anton Bilimović.

Godine 1921. Bogdan Gavrilović dobija drugi mandat za rektora Beogradskog univerziteta. Na ovoj dužnosti ostaje tri godine, do jeseni 1924. Sada je Gavrilović već u potpunosti okrenut opštim pitanjima koja se tiču kulture, politike i istorije, kao i mesta nauke u kompleksu drugih civilizacijskih tekovina. Time je prožeta i njegova rektorska beseda "O živim silama narodnog jedinstva" štampana 1922. u časopisu "Srpski književni glasnik". O mnogim pitanjima raspravlja u ovoj besedi: o ratu i miru i razlozima za početak tek minulog rata, o demokratiji, o nacionalizmu i nacionalnoj svesti, o životu sa Hrvatima i Slovencima u tek stvorenoj zajedničkoj državi. Beseda vrvi činjenicama pokazujući tako Gavrilovićevu enciklopedijsku širinu i univerzalan duh. Evo šta kaže, na primer, o Vukovoj borbi za narodni jezik:

U nas se obično kaže da je u Vukovoj borbi za narodni jezik jasno ocrtana afirmacija narodne svesti, ali ja mislim da je ona imala mnogo širi i mnogo dublji značaj. Nacionalna svest naroda našeg koji je u Srbiji živeo, to je jedna specifična svest, i ona se sadržinom svojom razlikuje od nacionalne svesti, recimo, onog dela srpskog naroda koji je živeo izvan Srbije, a najveća je razlika među njima u tome što se nacionalna svest naroda u Srbiji po svojoj sadržini i obeležju uvek poklapala sa državnom svesti, dok je na drugim nekim stranama našega naroda nacionalna svest ranije bila u potpunoj suprotnosti sa državnom svesti. I pravi značaj Vukove borbe je u tome što je pobeda Vukovih načela učinila da se odmah s početka ceo javni, državni i kulturni život počeo, ili tačnije, morao početi razvijati na narodnoj osnovi."

A na kraju svoje besede, Gavrilović kao da ima viziju nekih dalekih događaja u budućnosti koju opisuje biblijskim rečima:

Zamislite - u jednom izuzetno svetlom trenutku vaše duše - jedan narod koji u V veku napušta svoja ognjišta i - ne znajući gde će se zaustaviti na putu svojemu - silazi sa Karpatskih visova u Panonske zaravni i, otud dalje, u današnje zemlje svoje; zamislite kako sila istorijska taj narod, na razmeđu istoka i zapada, cepa; zamislite koliko je, sa tog cepanja njegova, bilo bede, patnje i svakovrsnog stradanja, koliko muka, pečali i vapaja, koliko ničim nezasluženog poniženja i uvreda njegova ponosa, koliko demonski postavljenih gatova i ustava po kao kristal bistrim potocima kojima je strujao njegov duh i njegova misao; - zamislite jednom rečju koliko je bila trnjem zasuta i kolikom krvi orošena staza kroz koju će u nizu dugih vekova proći život toga naroda; i pogledajte kako se kroz izmaglicu što se digla iznad još vruće i u tle neupijene krvi njegove - tog jedinog porfira njegove utehe, njegove nade, časti i dostojanstva - vidi u jasnoj svetlosti veličanstvena povorka prvih izbranika njegovih gde sa pripaljenim voštanicama i s tihim molitvama prilazi Večnosti i tu, pred njom, na oltaru Prava, Pravde i Slobode, stvara jedinstvo narodno... Eto vam u viziji, slike naše istorije, koja je sadašnjem pokolenju u amanet ostavila narodno jedinstvo. Ono je danas tu, među nama, ali svetlost - unutrašnja svetlost - koja duše iz tmine vaskrsava, još nije među nama, i mir - potpun mir - još nije osvojio srca naša."

Sredinom dvadesetih godina stasava nova generacija matematičara: Tadija Pejović, Radivoje Kašanin, Jovan Karamata i Miloš Radojčić. Evo svih matematičara koji su bili na Beogradskom univerzitetu 1926. godine. Na Filozofskom fakultetu na Katedri teorijske matematike bili su: redovni profesori M. Petrović i N. Saltikov, docent T. Pejović i asistenti dnevničari J. Karamata i M. Radojčić; na Katedri primenjene matematike: redovni profesori M. Milanković i A. Bilimović, vanr. prof. V. Mišković i docent V. Žardecki. Na Tehničkom fakultetu su na Katedri matematike: red. profesori B. Gavrilović i P. Zajončkovski, docent R. Kašanin; na Katedri primenjene matematike: I. Arnovljević i J. Hlitčijev. Svi nastavnici i asistenti teorijske i primenjene matematike sa univerziteta čine Klub matematičara Beogradskog univerziteta. Ovaj seminar predstavlja zapravo matematičku školu Beogradskog univerziteta. Može se reći da je to zlatno doba srpske matematike. Klub nije imao nekakva posebna pravila, osim što su se sastanci držali jednom mesečno i tom prilikom predstavljali radovi i naučne rasprave članova kluba.

Gavrilović 1926. čita svoju pristupnu akademsku besedu. Tom prilikom Gavrilović je i proglašen za redovnog člana Akademije. Predsednik Akademije, Jovan Cvijić dao je sledeće obrazloženje:

G. Gavrilović je poznati radnik na prostranoj oblasti matematike, a radio je samostalno na pitanjima geometrije, formalne algebre i teorije funkcija. Meni je osobito zadovoljstvo istaći da je g. Gavrilović u delu "Analitična Geometrija" proveo kroz teoriju konačnih preseka princip korelacije i time nastavio ono što je nemački matematičar Hese učinio u teoriji tačke, prave i kruga. Dalje su od znatnog interesa radovi g. Gavrilovića o različnim kulturnim pitanjima, među kojima se ističe problem odredbe vrednosti civilizacije, kao jedan od problema prirodne filosofije.

Na osnovu čl. 14 osnovnog Zakona o Akademiji proglašujem g. Gavrilovića za redovnog člana Srpske Kraljevske Akademije i najsrdačnije mu čestitam."

Članovi beogradskog matematičkog seminara štampali su svoje radove uglavnom u Akademijinom časopisu "Glas" i u "Rad"-u Jugoslavenske akademije nauka u Zagrebu. Na žalost, pravilo Akademije bilo je da se radovi objavljuju na srpskom jeziku i tako su ti radovi ostajali nepoznati široj svetskoj naučnoj javnosti. Otuda je potreba za novim časopisom u kojem bi se radovi objavljivali na svetskim jezicima bila velika. Zahvaljujući zadužbini Luke Ćelovića - Trebinjca 1932. pokrenut je nov časopis Publications mathématiques de l'Université de Belgrade" u kojem su radovi objavljivani na ruskom, engleskom, francuskom i nemačkom jeziku. Do Drugog svetskog rata izašlo je sedam tomova. Tako su naučni radovi beogradskih matematičara postali poznati široj matematičkoj javnosti. U Publications-u pored matematičara sa Beogradskog univerziteta objavljuju poznati svetski matematičari: E. Cartan, W. Sierpinski, P. Montel, J. Plemelj, H. Lemke, Dj. Kurepa, P. Erdös.

Godine 1929. Gavrilović odlazi u penziju ali i dalje predaje analitičku geometriju na Tehničkom fakultetu, sve do aprila 1941. Za predsednika Akademije izabran je 1931. i na ovoj uglednoj dužnosti ostaje do 1937. Taj pozni period njegovog života obeležen je mnogobrojnim društvenim aktivnostima, svečanim govorima i proslavama. Tako, drži govore i piše memorijalne tekstove posvećene našim i stranim velikanima: Geteu, Vuku Karadžiću, Nikoli Tesli, Mihailu Pupinu, Dimitriju Nešiću, Jovanu Žujoviću, Pol Penleveu i drugima.

Bogdan Gavrilović bio je počastvovan za svoj naučni i društveni rad od mnogih naučnih institucija i društava. Kao što već rekosmo, bio je redovni član Srpske akademije nauka, dopisni član Jugoslavenske akademije znanosti i umetnosti, zatim član društva Circolo matematico di Palermo, Dr. hon. causa Univerziteta u Atini, član Društva Nikola Tesla, a od 1939. kada je osnovan Institut Nikola Tesla, direktor instituta.

Pored nauke, Gavrilović je imao još jednu ljubav. Na svom seoskom posedu u Grockoj podigao je voćnjak u kojem je gajio breskve i drugo voće. Njegovi savremenici kažu da je i u tome pratio i koristio tekovine nauke, čitao publikacije iz te oblasti i da je primenjivao za ono vreme savremene poljoprivredne tehnike. Prema rečima Milutina Milankovića voće iz njegovog voćnjaka bilo je najbolje u zemlji.

Dolazi Drugi svetski rat gde u smiraju svog života Gavrilović vidi pepeo knjiga iz biblioteke koju je osnovao zajedno sa M. Petrovićem pre pedeset godina. Rat prolazi, ali njegovo ime, kao jednog od osnivača i člana Naučnog veća, još uvek vidimo u letopisima Matematičkog instituta SANU iz 1947. Prva sednica Veća Matematičkog instituta održana je 22. juna 1946. Tada je Bogdan Gavrilović, u svojoj 83. godini, bio izabran za člana odbora za veze sa inostranstvom.

Profesor Bogdan Gavrilović umro je 6. avgusta 1947. godine u svom rodnom mestu, Novom Sadu, a sahranjen je u Beogradu. U holu Matematičkog instituta SANU nalazi se bista Bogdana Gavrilovića.

Svojim naučnim radom Bogdan Gavrilović pripada jednom specifičnom vremenu u više pogleda. Krajem 19. veka matematika je izrasla u visoku zgradu sa velikim brojem spratova. Nastale su nove matematičke discipline, a za neke bi se moglo reći da su već bile završene. Specijalizacija je počela da uzima maha kao danak naučnoj produktivnosti. Bogdan Gavrilović koji je kao student prošao kroz dobre evropske škole, stekao je odlično matematičko obrazovanje. Imajući u vidu pomenutu specijalizaciju, Gavrilović je podjednako dobro poznavao i radio u nekoliko matematičkih oblasti: algebri, analitičkoj geometriji i teoriji funkcija kompleksne promenljive. S druge strane, kada je došao u Beograd malo je bilo čistih matematičara koji su se bavili naučnim radom: Ljubomir Klerić, Petar Živković, Dimitrije Nešić, Dimitrije Danić i pred kraj XIX veka Mihailo Petrović. U to vreme veći deo stanovništva bio je nepismen, a država je putem stipendija i slanjem pitomaca u inostranstvo na školovanje, više potpomagala i razvijala praktične nauke: tehničke nauke, građevinarstvo, rudarstvo i pravne nauke nego fundamentalne nauke. Cilj je bio da se što pre ekonomski i vojno ojača mlada država. Sve ove činjenice moramo imati u vidu kada ocenjujemo naučni rad Bogdana Gavrilovića, koji je i pored navedenih okolnosti, u naučnom radu zadovoljavao standarde najrazvijenijih evropskih država. Pratio je i nadovezivao se na radove najpoznatijih matematičara - savremenika, dok su teme za koje se zanimao bile aktuelne. I mnogo kasnije, kada je već prestao da objavljuje naučne radove, Gavrilović je zadržao zanimanje za savremena istraživanja. I ne samo to, Gavrilović je bio i upoznat sa njima, u šta se možemo uveriti iz njegove akademske besede 1926. godine.

Moramo pomenuti još dve karakteristike Gavrilovićevog naučnog opusa. Svi njegovi radovi, osim teze, napisani su na srpskom jeziku i time su automatski bili nedostupni široj naučnoj javnosti. Gavrilović je odlično znao strane jezike, ali prema već pomenutom Akademijinom pravilu radovi štampani u njenim glasilima morali su biti napisani na srpskom jeziku. Druga karakterisika odnosi se na dužinu perioda u kojem je objavljivao radove. Sve svoje naučne radove, osim jednog izuzetka, objavio je u relativno kratkom vremenu 1900-1907. Može se razumeti zašto pre 1900. nije objavljivao, jednostavno bio je zauzet pisanjem obimnih knjiga iz analitičke geometrije i linearne algebre. Ali zato nije sasvim jasno zašto je prestao sa pisanjem radova 1907. U našoj publicistici ima nekih tumačenja, ali verovatno je najprihvatljivije objašnjenje da su Gavrilovića kao čoveka širokog interesovanja i univerzalnog duha, u tom drugom delu njegovog života više zanimale teme iz filozofije, istorije, obrazovanja i jezika. Ne treba zaboraviti ni činjenicu da je istovremeno imao visoke administrativne i naučne funkcije koje su ga sigurno ometale da se više posveti nauci.

U okviru svojih algebarskih istraživanja, Bogdan Gavrilović se zanimao skoro podjednako za tri oblasti: kombinatoriku, teoriju brojeva i linearnu algebru. Gavrilović je u ovim istraživanjima bio, kako i sam kaže na nekoliko mesta, pod uticajem pre svega engleskih algebrista Kejlija i Silvestera. Oni su bili vodeći matematičari u Engleskoj u drugoj polovini prošlog veka, a značajni su jer su svojom uzajamnom saradnjom doveli do stvaranja teorije algebarskih invarijanata. Njihovi radovi skrenuli su pažnju u Nemačkoj, pa je nekoliko nemačkih matematičara (Hese, Aramhold, Klebš [Klebš je bio osnivač čuvenog časopisa Mathematische Annalen] i Gordan) nastavilo ta istraživanja sa primenama u analitičkoj geometriji. Gavrilović je bio upoznat sa radom ovih matematičara što se može zaključiti na osnovu mnogobrojnih citata i referenci u njegovim radovima i knjigama. Evo nešto detaljnijih pregleda nekoliko izabranih Gavrilovićevih radova iz ove oblasti.

Dosta obimna rasprava (ima 53 stranice) O težinama algebarskih sklopova pripada kombinatornoj teoriji brojeva, preciznije teoriji razbijanja. Podsetimo se da je osnovni zadatak ove teorije da se odredi broj svih predstavljanja ("razbijanja") datog prirodnog broja kao zbira prirodnih brojeva, s tim da sabirci ili broj sabiraka može zadovoljiti neki unapred dati uslov. Veliki broj čuvenih matematičara bavio se ovom danas dosta aktuelnom oblašću: Ojler, Gaus, Kejli, Ramanudžan, Erdeš. Gavrilović u svom radu određuje broj razbijanja datog prirodnog broja n na dva, tri i četiri sabirka (Na primer, broj razbijanja prirodnog broja n na dva sabirka je n/2. Metod koji koristi je elementaran i svodi se na dosta komplikovana prebrajanja klasa prirodnih brojeva. Izgleda da Gavrilović nije poznavao radove iz te oblasti jer nema citata, dok je recimo Kejli samo dve godine pre Gavrilovića objavio rad (A. Cayley, Researches in the partition of numbers, (1898) Collected Math. Papers 2, videti takođe: The theory of partitions, G.E. Anderws, 1976, Addison-Wesley Publ. Co.) u kojem je opisana metoda pomoću koje se relativno lako rešavaju problemi koje Gavrilović postavlja u svom radu. Na početku svog spisa Gavrilović pominje da je do tog problema došao prilikom određivanja analitičkih izraza nekih funkcija, ali na žalost ne daje detalje da bismo mogli izvršiti poređenje sa Kejlijevom analitičkom metodom generatorskih funkcija. Zanimljivo je da je Gavrilović očekivao da će ova teorija naći primene u hemiji: "ona će se verovatno moći primeniti u Hemiji pri izračunavanju broja organskih jedinjenja nekog razreda" - kaže Gavrilović. Najveću vrednost ovog rada čini to što je Gavrilović izgleda nezavisno prepoznao i rešio partikularne slučajeve jednog fundamentalnog problema kombinatorne teorije brojeva. Za čitaoca koji bude izučavao ovaj Gavrilovićev spis, kažimo da reč sklop u njegovom radu ima značenje savremenog pojma skup, dok razred sklopa označava broj elemenata tog skupa.

Spis O pfafijanima, mada iz linearne algebre, u osnovi je rad kombinatornog karaktera. Naime Kejli je dokazao ( "Sur les déterminants gauches", Journal f. d. reine und angew. Mathem. t. XXXVIII) da je kososimetrična determinanta ( To su determinante |aij| kod kojih je aij = -aji ) parnog stepena kvadrat jednog polinoma. Taj polinom je u vezi sa znamenitim Pfafovim problemom o geometrijskoj strukturi rešenja sistema diferencijalnih jednačina, poznatih pod imenom Pfafove jednačine, i prema Kejliju naziva se pfafijanom. Ako je M = |aij| kososimetrična matrica parnog reda i Δ pfafijan matrice M , onda je Δ linearna funkcija prve vrste matrice M . Polazeći od ove činjenice, Gavrilović daje u osnovi rekurzivnu definiciju pfafijana preko jednog skupa permutacija, koje on detaljno opisuje. Ta definicija sa nešto osavremenjenim oznakama izgleda ovako:

gde je s = (i1j1, i2j2 ... injn) permutacija skupa {1, 2, ... 2n} , gde je iα < jα , α = 1, ... , n , a ε(s) je znak permutacije s. Nije teško videti da ovih razbijanja ima (2n-1)!!, s tim da se dve particije s, s' smatraju istim ako

Gavrilović takođe raspravlja neka algebarska svojstva pfafijana analogna svojstvima determinanata. Na primer, u potpunosti raspravlja šta se dešava ako se promene znaci elemenata pfafijana na neparnim odnosno parnim dijagonalama. Naime pokazuje da se menja samo znak pfafijana u zavisnosti od reda pfafijana. Zanimljivo je da je savremena definicija pfafijana veoma bliska opisu pfafijana koji Gavrilović raspravlja u svom radu (N. Burbaki, Algébre).

U radu Jedan nov prilog teoriji brojeva Gavrilović dokazuje nekoliko teorema o zbirovima kvadrata prirodnih brojeva od kojih najzanimljivija glasi: "Proizvod dva zbira od po 9 kvadrata može se predstaviti kao zbir od 16 kvadrata". Ovim je uopštio nekoliko teorema, jedan stari Ojlerov rezultat, kao i jedan Langranžeov obrazac, ali i rezultate nekoliko svojih savremenika ( Genocchi, Arnoux, Antomari). U dosta elegantnim dokazima koristi elementarne osobine kompleksnih brojeva i teoriju determinanata.

Gavrilović ima takođe dva rada o kubnim determinantama (to su "determinante" čiji su elementi indeksirani sa tri indeksa). U jednom radu nalazi analogon Sarusovog pravila za razvijanje kubnih determinanti trećeg reda. U drugom radu raspravlja šta se dešava sa vrednošću kubne determinante ako se promene znaci elemenata koji leže u nekoj od horizontalnih, vertikalnih ili dijagonalnih ravni. Ovo nisu neke velike teme, ali treba pomenuti da se osim Gavrilovića problematikom kubnih determinanata u svetu bavilo svega još dva-tri matematičara.

Gavrilović je napisao tri rada iz analitichke geometrije. Prva dva izašla su početkom veka, a treći O precrtima spregnutih tačaka jednog transfinitnog skupa kongruentnih projektivnih nizova tačaka objavljen je tek 1945. (zajedno sa nemačkim prevodom). Ovaj treći rad izgleda da je Gavrilović uradio mnogo ranije, jer se u svojoj akademskoj besedi Gavrilović osvrće na glavne rezultate sadržane u tom radu "Tražeći precrte transfinitnih 'prirodnih' skupova našao sam da će ti precrti biti hiperbole, ali sam u isto vreme i sintetičkim i analitičkim putem dokazao da roj tih hiperbola ne može formirati jedan hiper-prostor od osam dimenzija." Ovaj rad je zanimljiv i zato jer u njemu pokušava da poveže neka geometrijska svojstva likova sa njihovim skupovnim osobinama u smislu Kantorove teorije skupova. U prva dva rada Gavrilović izučava pak geometrijska svojstva nekih familija konusnih preseka (krivih drugog reda) kao i osobine nekih geometrijskih transformacija, specijalno projektivnih, i slika krivih drugog reda koje se dobijaju primenom tih transformacija. U radovima se vidi da Gavrilović izvanredno poznaje tekuća istraživanja u ovoj oblasti, što i nije čudo jer iza sebe ima upravo napisan udžbenik iz analiteičke geometrije od 900 stranica.

U oblasti teorija funkcija kompleksne promenljive Gavrilović je pored teze napisao pet radova. Sa današnjeg stanovišta teško je reći da li je njegov rad u ovoj oblasti imao bitno novih doprinosa, ali se njegovi rezultati nikako ne mogu smatrati trivijalnim. Moglo bi se smatrati da su ti pomaci mali, ali ne i zanemarljivi.

Neke teme o kojima Gavrilović piše i danas su aktuelne. Na primer, u radu O analitičkim izrazima nekih funkcija Gavrilović uopštava jedan Adamarov rezultat. Naime, Adamar izražava koeficijente analitičke funkcije 1/f (z) pomoću determinante koeficijenata funkcije f (z) , dok Gavrilović taj rezultat uopštava na funkciju g(z)/f(z) . Gavrilovićev dokaz je lep i nije direktan prenos Adamarovog-ovog dokaza. U radu O nekim trigonometrijskim identičnostima, Gavrilović dokazuje dosta složene trigonometrijske identitete metodom računa ostataka. Spomenimo da se ne vidi direktan način kojim bi se ti identiteti dokazali. U jednom drugom radu varira tu temu tako što trigonometrijske identitete dokazuje koristeći svojstva simetričnih funkcija korena kubne jednačine. U radu O ostacima jednogranih funkcija Gavrilović se nadovezuje na Vajerštrasove rezultate u vezi sa ostatkom logaritamskog izvoda i esencijalnih singulariteta analitičkih funkcija. Kod logaritamskog izvoda uvodi težinu i za to uopštenje dobija slične rezultate kao Vajerštras. U raspravi O analitičkom predstavljanju jednogranih funkcija u oblasti tačke u beskonačnosti Gavrilović uopštava neke Ermit-ove rezultate koji se odnose na ostatke funkcija iz jedne klase racionalnih razlomljenih funkcija. Ovaj rad je lepo napisan sa elegantnim dokazima i sadrži rezultate koji su i danas od interesa. Spomenimo da ovaj Gavrilovićev spis citira Vivanti u svom udžbeniku.

U svojoj pristupnoj akademskoj besedi "Problem prostora, hiper-prostora i kontinuuma" koja je održana 7. marta 1926, Gavrilović predstavlja svoj pogled na matematiku i razmatra problem zasnivanja nekih osnovnih matematičkih pojmova. To predstavljanje ide u nekoliko pravaca. U prvom delu Gavrilović analizira pojam prostora u geometriji i to u euklidskoj geometriji, Rimanovoj geometriji i geometriji Lobačevskog. Hvali intelektualnu hrabrost Lobačevskog što odbacuje 5. postulat (o paralelnim pravama) iz Euklidovog sistema aksioma, i na taj način uvodi jednu drugu geometriju isto toliko tačnu i neprotivurečnu kao što je Euklidova geometrija. A evo šta misli o Rimanovoj geometriji kao matematičkom modelu fizičkog prostora:

Gavrilović takođe izlaže kako se problem prostora vidi u klasičnoj (Njutnovoj) mehanici, ali i u okviru Ajnštajnove teorije relativnosti. Dobro je upoznat sa savremenim radovima iz zasnivanja geometrije (Hilberta, Poenkarea, Minkovskog i drugih). Poznat mu je i primer konačnih geometrija - kada spominje "razgranavanje sistema od samo 7 tačaka koji prikuplja u jednu sistemu sve tačke prostora", verovatno misli, mada eksplicitno ne pominje, na konačan model Gino Fano-a iz 1892., takozvane prve grupe aksioma projektivne geometrije (aksiome incidencije) u kojoj ima ukupno 15 ravni od kojih je svaka incidentna sa 7 tačaka i 7 pravih.

U drugom delu besede Gavrilović se bavi uglavnom Kantorovom teorijom skupova, kao univerzalnim okvirom za zasnivanje realnog kontinuuma, analize i geometrije. S tim u vezi navodi mnogobrojne probleme i primere iz kardinalne aritmetike, kao što su Kontinuum hipoteza (da je svaki beskonačan podskup realnog kontinuuma ekvipontetan skupu prirodnih brojeva ili skupu realnih brojeva), ili primer Peanovih krivulja pomoću kojih se ivica datog kvadrata može neprekidno preslikati na ceo kvadrat.

Još jedna tema prožima besedu. To je problem beskonačnosti i kako se taj pojam zasniva u matematici. Gavrilović ističe da se razni aspekti intuitivnog pojma beskonačnosti na različite načine sagledavaju u različitim oblastima matematike: na jedan način u geometriji, na drugi u analizi i na treći način u Kantorovoj teoriji skupova. Tako na jednom mestu kaže da je "Infinitezimalni račun najdublja i najlepša lirska pesma o beskonačnom", mada smatra da se do dublje suštine o beskonačnom došlo tek strogim zasnivanjem osnovnih pojmova analize, kao što je neprekidnost, na primer. Ipak, prema njemu pravi okvir za zasnivanje pojma aktuelne beskonačnosti u matematici je Kantorova teorija skupova. Naime, parafrazira Hilberta, smatrajući da je ova teorija "raj iz koga se problem o beskonačnom ne može potisnuti, već da će ona i u budućnosti, za dugo vreme još, biti jedna od najplodnijih oblasti matematičkih spekulacija." Gavrilović je tu sasvim u pravu. Na drugom mestu Gavrilović se pita da li kontinuum i beskonačnost postoje u stvarnosti. Smatra da je odgovor na to pitanje negativan. Ako je reč o beskonačno malim veličinama, potvrdu za svoje mišljenje nalazi u nedeljivosti elementarnih čestica, odnosno postojanju najmanjih količina energije (Plankovih kvanata). Dakle u realnom svetu nema beskonačno malih veličina, prema tome nema ni homogenog kontinuuma. Da u fizičkom svetu nema ni beskonačno velikih veličina, Gavrilović nalazi dokaz u Ajnštajnovim konačnim kosmološkim modelima. Dalje, Gavrilović kaže "Matematika na ime ne može reći ovo: prostor je beskonačan; ona nam ne može reći ni da je prostor konačan". Zapravo on smatra da je u matematici najvažnije izvođenje ili dokaz, a da na taj način dobijene istine ni u kom slučaju ne prejudiciraju prirodu prostora, bez obzira šta su bile polazne pretpostavke. U tom smislu Gavrilovićevo stanovište blisko je Hilbertovom formalističkom pogledu, prema kojem je pojam beskonačnosti u matematici korisna ali otklonjiva fikcija. Ovaj stav se vidi na još jednom mestu u besedi kada kaže: "Jer o aksiomima mi možemo misliti kako hoćemo; mi za njih možemo reći, da su oni konvencija ili, da su oni sudovi a priori; mi možemo neke od njih primiti, a neke i odbaciti, ali kad se već neki od njih prime, onda će i u jednom i u drugom krilu ono, što se bude iz njih razvilo, morati biti logički tačno."

Spomenimo da je u ovom spisu Gavrilović pokušavao, kao i u nekim ranijim radovima, da poveže, ne može se reći sasvim uspešno, neka geometrijska svojstva prostora sa kardinalnom aritmetikom Kantorove teorije skupova. Istina, neko ovde može videti nagoveštaje jedne discipline koja će se pojaviti trideset godina kasnije - teorije modela, gde će se ta pitanja raspravljati na drugim osnovama.

Zanimljivo je da Gavrilovićeva beseda izgleda nije imala nekog naročitog odjeka u ondašnjem beogradskom krugu matematičara, mada nije iznosila samo autorove poglede, već i aktuelne činjenice i poglede nekih od najvećih savremenih autoriteta iz te oblasti (Rasela, Hilberta, Poenkarea, Kartana, Edingtona i drugih). Jedan od razloga verovatno je taj što je većina beogradskih matematičara, ako ne i svi ostali, bila upućena na rešavanje i izučavanje konkretnih matematičkih problema, pre svega iz analize. Jednostavno, u Beogradu u to vreme za geometriju i osnove (zasnivanje) matematike bilo je malo interesovanja. S obzirom da je prošlo 70 godina od pojavljivanja, Gavrilovićeva beseda deluje sveže i fundirano i može biti aktuelna za sve one koji se zanimaju za pitanja iz osnova matematike. Takođe ona pokazuje da je Gavrilović bio vrlo upućen u radove na tu temu autora svog vremena, ne samo u matematici već i u fizici i filozofiji.

Gavrilović je objavio dve knjige. Prvu knjigu, Analitična geometrija objavio je 1896. Druga knjiga, Teorija determinanata izašla je 1899. Obe knjige imaju više zajedničkih karakteristika. Prva karakteristika odnosi se na terminologiju. Kao jedan od prvih pisaca u ovoj oblasti (Prve univerzitetske udžbenike iz matematike opšteg tipa pisao je Emilijan Josimović šezdestih godina prošlog veka, dok je kasnije Dimitrije Nešić pisao nešto specijalizovanije udžbenike.), Gavrilović je morao imati određene terminološke probleme. Postavljalo se pitanje da li treba uvoditi srpske reči za nove pojmove ili prihvatiti strane, "posrbljene". O takvim dilemama možda najbolje svedoče reči Emilijana Josimovića, jednog od pionira naše nauke, koji na jednom mestu kaže "Naposledku u smotreniju jezika priznajem iskreno da sam još dosta slab, no i sasvim naravno, jer je bila takva prilika, da sam i ja kao mlogi drugi Srbi osim Časlovca i psaltira sve drugo morao učiti na tuđem jeziku." Gavrilović je uspešno rešio većinu terminoloških problema. Evo nekoliko primera reči koje je koristio a danas bi izgledale starovremski ili neobično: ekvacija (jednačina), pismeno (promenljiva), kazaljka (indeks, izgleda da je termin "kazaljka" uveo D. Nešić), precrt (slika skupa, preslikavanje), roj (pramen, familija). Druga karakteristika ovih knjiga su mnogobrojne istorijske napomene kojima Gavrilović objašnjava poreklo značajnijih matematičkih termina. Takođe, u velikom broju slučajeva možemo tamo naći imena autora teorema i zadataka koji su danas zaboravljeni ili ih smatramo matematičkim folklorom. Tako, u Analitičnoj geometriji naći ćemo pored mnogobrojnih drugih i jedan Boškovićev zadatak, dok ćemo u Teoriji determinanata saznati da reč determinanta potiče od Gausa. Knjige obiluju ovakvim detaljima, što im i danas daje jednu posebnu vrednost, naročito imajući u vidu da savremeni autori retko daju objašnjenja ove vrste.

Gavrilović je napisao ove knjige sa velikim pretenzijama, kako i sam kaže u predgovoru Teorije determinanata: "Hteo sam da iznesem osnove cele teorije zajedno sa teorijom specijalnih važnijih determinanata, ali sam pri tome naročito pazio, da onaj, koji bi hteo da što dublje uđe u modernu Analitičku geometriju, do što boljih osnova dođe".

Knjige su pisane lepim i doslednim stilom. Dokazi su strogi i sa stanovišta savremene matematike korektni. Ipak, pisac je pred sobom video jednog opšteg studenta, pa je teoreme često ilustrovao primerima, a dokaze, gde se ideja mogla očuvati, umesto opšteg slučaja ("za proizvoljno n") sprovodio na posebnim slučajevima (za n=2 ili n=3). Zato se knjige lako čitaju i mogu služiti kao uzor dobrih udžbenika. Prema svedočenju profesora Zlatka Mamuzića, Teorija determinanata se koristila kao udžbenik sve do Drugog svetskog rata.

Potpun naziv ove knjige je "Analitična geometrija prave, kruga i koničnih preseka". Gavrilović je knjigu posvetio srpskom dobrotvoru Savi Tekeliji, čije zadužbine je nekad bio stipendista. Na samom početku, Gavrilović ističe da je knjigu pisao za one koji žele da se upoznaju sa metodom punktualne i tangencijalne geometrije. Zapravo najveći i glavni deo knjige odnosi se na projektivnu geometriju ravni i izučavanje konika (koničnih ili konusnih preseka). Još u vremenima drevne Grčke, a kasnije naročito u 19. veku, konični preseci su se sistematski izučavali i dobijen je ogroman broj rezultata o ovim linijama. To je razumljivo, s obzirom koliko se često ovi oblici javljaju u matematici, mehanici, fizici, astronomiji, tehnici, arhitekturi i na drugim mestima. Podsetimo se da planete i komete, na primer, putuju trajektorijama koje se mogu opisati (u prvoj aproksimaciji) konikama. Gavrilovićeva knjiga je enciklopedija ne samo rezultata o ovim krivama, već i metoda kojim su ti rezultati dobijeni. S obzirom na obim dela, knjiga ima preko 900 stranica, ovom prilikom ne možemo ulaziti u njenu detaljniju analizu. Ipak, kažimo sledeće.

Delo je podeljeno na šest knjiga, a samo za prvu knjigu i prvu polovinu druge knjige može se reći da većim delom pripadaju elementarnoj analitičkoj geometriji, mada se i ovde diskutuju manje elementarne teme, na primer osnove teorije algebarskih i transcedentnih krivih. Tako na primer, daju se u pravouglom koordinatnom sistemu, ali i u polarnim koordinatama jednačine i glavna svojstva algebarskih krivih drugog reda: kruga, elipse, hiperbole i parabole; trećeg reda: cisoide i strofoide; četvrtog reda: konhoide prave i konhoide kruga; transcedentne krive: Arhimedove spirale. U odeljku Tačka i tangencijalne koordinate, Gavrilović uvodi projektivne koordinate najpre pravih i to takozvane tangencijalne koordinate prave. Pri tome daje prirodnu analitičku i geometrijsku motivaciju za takvu definiciju; to je uređen par (u,v) parametara u,v u normalnoj jednačini prave ux+vy+1=0 kojom je prava jedinstveno određena. Ove koordinate poznate su i pod imenom Plikerove koordinate pravih, prema J. Plücker-u koji ih je uveo 1829. Iste koordinate nazivaju se i homogenim ili linijskim koordinatama pravih (videti M. Prvanović, Projektivna geometrija, Beograd, 1986), ako se uzme trojka (u,v,w) parametara u,v,w u opštoj jednačini prave ux+vy+w=0. Na istom mestu Gavrilović zatim objašnjava svoju rečenicu iz uvoda, odnosno šta podrazumeva pod punktualnom, a šta pod tangencijalnom geometrijom (str. 196):

U sledećem odeljku uvode se takozvane trilinearne (ili homogene) koordinate tačke u projektivnoj ravni. Od tog mesta pa do kraja knjige, a to je nekih 700 stranica, koristi se analitički metod projektivnih koordinata u rešavanju raznih geometrijskih zadataka i ispitivanju konika. Pri tome, Gavrilović koristi načelo korelacije, odnosno načelo dualiteta kao opšti princip za udvajanje geometrijskih istina, onako kako su ih prvi formulisali i primenili Poncelet, Chasles, Gergonne i Möbius u prvoj polovini 19. veka. Evo šta o tome Gavrilović kaže (str. 208):

Kad se uporede rezultati do kojih smo pomoću tangencijalnih koordinata došli sa nekim rezultatima koje smo dobili pomoću paralelnih koordinata, videće se da između tih rezultata ima neke određene uzajamnosti. Po toj uzajamnosti vidi se da se geometrijske teoreme veoma lako mogu prenositi iz punktualne u tangencijalnu geometriju; treba prosto u pojedinim teoremama mesto reči tačka, prava, mesto, tačke u kojima se seku prave i t.d. uzimati reči prava, tačka, obvojnica, prave koje spajaju tačke i t.d. Takve dve teoreme zovu se dualne ili korelativne teoreme, a načelo po kome se mogu udvajati te teoreme, načelo dualiteta ili načelo korelacije."

U knjizi ima 442 odrednice, koje sadrže na stotine teorema, primera i zadataka. Izloženi su rezultati iz klasičnih radova, značajnih memoara, ali i manje poznatih rasprava, matematičara: Ponselea, Žergona, Mebijusa, Štajnera, Šala, Kelija, Kezea, Hesea i drugih, u svemu preko 100 imena. Evo nekoliko primera. Ovde ćemo naći elegantan i kratak analitički dokaz pomoću trilinearnih koordinata da Ojlerova prava datog trougla prolazi kroz orto-centar, težište i centar opisanog kruga trougla. Zatim dva analitička rešenja Apolonijevog problema: naći krug K koji dira tri kruga, jedno Heseovo i drugo Kezeovo. Dokazane su dualne Paskalova i Brijanšonova teorema o svojstvima upisanih i opisanih heksagona (šestotemenika) koničnih preseka. Izloženi su elementi Kelijeve teorije invarijanata.

Ova obimna knjiga sadržavala je, ne znam da li možemo reći sva znanja o konikama i geometriji projektivne ravni, ali sigurno ogroman deo te oblasti do vremena kada je napisana. Ima dosta razloga zašto bi je svaki matematičar, a naročito geometar i algebrista rado imao u rukama. Tu će naći mnogobrojne, možda i zaboravljene teoreme i zadatke, i u velikom broju slučajeva ime matematičara koji je teoremu dokazao, odnosno problem postavio ili rešio. To daje jednu neprolaznu vrednost ovoj knjizi, naročito imajući u vidu da u modernim udžbenicim najveći deo tih imena leži u tami anonimnosti. Gavrilović uvodi nove pojmove dajući prirodnu motivaciju, bez glomaznih oznaka i sa puno lepih crteža. Možda se zato ponekad nešto izgubi od opštosti ili preciznosti, ali zato čitalac može lako da prati matematički tekst i glavne matematičke ideje. Knjiga je pisana lepim i slikovitim jezikom, pa sa pravom možemo reći da ona pripada lepoj matematičkoj književnosti.

Ova knjiga predstavlja prvo ozbiljnije delo iz linearne algebre na srpskom jeziku. Istina, Dimitrije Nešić objavio je već 1883. univerzitetski udžbenik "Algebarska analiza". Tu se po prvi put u srpskoj matematičkoj literaturi izlaže na savremen način deo teorije determinanata i neke primene ove teorije u algebri. Gavrilović je inače uključio ovu knjigu u bibliografiju navodeći Nešićevo ime (kao jedinog srpskog autora). S obzirom na vreme i okolnosti kada se pojavila, Gavrilovićeva knjiga deluje iznenađujuće moderno u izlaganju linearne algebre, uvođenju terminologije, sagledavanju veza između linearne algebre i drugih oblasti matematike i istorijskim komentarima. Gavrilović u predgovoru piše: "... i s te strane će zar i ova Teorija determinanata morati zauzeti jedno ugledno mesto u našoj siromašnoj naučnoj književnosti." Malo dalje Gavrilović takođe kaže " Grešaka pri štampanju nema i u tome će se ovo delo moći ravnati sa najboljim engleskim izdanjima". Gavrilovićevo izlaganje teorije determinanata je kombinatornog karaktera. Na samom početku izlaže se račun permutacija, da bi determinantu definisao kao kombinatornu funkciju svojih elemenata, kako se i danas najčešće ovaj pojam uvodi:

U vreme nastanka ove knjige bilo je poznato da skup permutacija datog domena obrazuje grupu. Ipak, Gavrilović ne izlaže ovaj deo teorije permutacija. S druge strane, razlikuje pojam matrice i pojam determinante kao funkcije definisane na kvadratnim matricama. U to vreme, za razliku od determinante, pojam matrice bio je nov pojam.

U knjizi se izlaže standardna teorija determinanata, kao što je Laplasova teorema, osobine minora i kofaktora, zatim primene na rešavanje sistema linearnih jednačina (Kramerova teorema, teorema o egzistenciji netrivijalnog rešenja homogenog sistema linearnih jednačina). Posebnu vrednost knjizi daju veze i primene teorije determinanata u drugim oblastima matematike. Na primer, u analitičkoj geometriji (u određivanju jednačine ravni kroz tri nekolinearne tačke, u drugom delu knjige u rešavanju osnog problema za krive drugog reda), zatim u algebri kod određivanja rezultante algebarskih jednačina. Ima primena i u analizi: izučavaju se svojstva jakobijana (dokazuje se teorema o inverznoj funkciji), hesijani i vronskijani (diferencijalne determinante) sa primenom na teoriju linearnih diferencijalnih jednačina (svođenje reda jednačine ako se zna partikularni integral). Ovde možemo naslutiti elemente funkcionalne analize jer na jednom mestu Gavrilović pominje linearnu nezavisnost funkcija i predstavljanje te veze preko vronskijana.

U knjizi se dosta detaljno izlažu osobine specijalnih determinanata (matrica): simetričnih, ortosimetričnih, kososimetričnih, cirkulanti, pfafijana, alternanti i kontinuanti (sa primenama u izučavanju verižnih razlomaka). Poslednja trećina knjige posvećena je teoriji linearnih transformacija u okviru euklidskih prostora. I pored toga što Gavrilović nema pojam vektorskog prostora, implicitno daje matričnu reprezentaciju linearnih operatora konačno-dimenzionih vektorskih prostora. Ortogonalne operatore definiše geometrijski, kao linearne transformacije koje čuvaju normu vektora, a zatim daje algebarske ekvivalente, na primer da je A^-1=A^T, gde je A matrica operatora. Ovde ćemo takođe naći Bine-Košijevu teoremu, zatim da je matrica proizvoda linearnih transformacija jednaka proizvodu njihovih matrica, ili današnjim rečnikom, da je prsten endomorfizama n-dimenzionog vektorskog prostora izomorfan prstenu matrica reda n (nad poljem skalara prostora).

U knjizi se takođe izlaže teorija kvadratnih oblika (formi). Daju se postupci za svođenje kvadratne forme na dijagonalni oblik (Gausov i preko ortogonalnih transformacija). Takođe se dokazuje Silvesterova teorema inercije.

Poslednje, osmo poglavlje odnosi se na teoriju invarijanata i kovarijanata. To je u ono vreme bila vrlo moderna i aktuelna teorija koju su većinom razvijali engleski i nemački matematičari. U Gavrilovićevoj knjizi možemo naći opis invarijanata kvadratnih formi i, implicitno, Gordanovu teoremu po kojoj svakoj binarnoj formi pripada konačan sistem invarijanata i kovarijanata. Podsetimo se da je Hilbert tu teoremu uopštio na proizvoljne algebarske forme ("Teorema o konačnoj bazi") i da se to smatra nastankom algebarske geometrije. Dalje, u knjizi se dokazuje da su hesijani i jakobijani kovarijante, te ovde nalazimo elemente tenzorskog računa. Treba imati u vidu da je G. Riči formulisao kovarijantne i kontravarijantne zakone tek 1889., a da je sam termin tenzor uveo A. Ajnštajn 1916. ( Annalen der Physik t. 49, 1916).

Ova zanimljiva knjiga bila je vrlo moderna za svoje vreme, može se reći na nivou najboljih evropskih udžbenika tog vremena. Naravno, kako je knjiga odslikavala aktuelnu matematiku svog vremena, neke danas standardne teme i oblasti samo su nagoveštene ili u knjizi ne postoje (na primer kao što su pojam vektorskog prostora i rang matrice). Ipak, pisac ovog prikaza pročitao je ovu knjigu sa zadovoljstvom.

Ako dajemo rezime o životnom putu, a naročito o naučnom i kulturnom radu takve osobe od ugleda kao što je bio Bogdan Gavrilović, možemo pasti u zamku pogrešnih i nedorečenih ocena, ili bar takvih ocena koje nisu prihvatljive za svakog. No taj rizik greške moramo prihvatiti, ali ćemo zato takođe predstaviti ocene i mišljenja nekih naših uglednih matematičara.

Kada govorimo o vremenu u kojem je Bogdan Gavrilović počeo svoj rad u nauci, ali i životnom dobu kada je nauci mogao najviše dati, moramo imati u vidu prilike koje su vladale Srbijom i Evropom krajem prošlog veka. Srpski narod živeo je dobrim delom u dijaspori, dok su se u samoj Srbiji nauka i kultura tek rađale. Materijalna sredstva koja je srpska država mogla odvajati za nauku bila su vrlo skromna. S druge strane, u devetnaestom veku, naročito u drugoj polovini veka, postavljaju se temelji savremene matematike. Rađaju se nove matematičke teorije sa mnogobrojnim primenama u tehnici i fizici, a stare se strogo logički zasnivaju. Nemoguće je na ovom mestu u svega nekoliko reči to ovde dokazivati - to je već za sebe jedna ogromna tema. Ipak spomenimo bar dva primera: Vajerštras je svojim ε-Δ kalkulusom formalno zasnovao analizu, dok je Kantor izgradio teoriju skupova i time dao okvir i univerzalan jezik savremene matematike.

Bogdan Gavrilović, direktan učenik Vajerštrasov, započinje naučnu karijeru naoružan ovim znanjima i sa evropskim shvatanjem nauke i kulture. Iako vrlo mlad, kao matematičar već je bio izgrađen. Bio je naklonjen geometriji i dobro je poznavao radove engleskih i nemačkih algebrista, dok je u radovima iz teorije funkcija razmatrao onda najaktuelnija pitanja. Tim povodom Miroslav Pavlović, naš istaknuti stručnjak za kompleksnu analizu, kaže da bi prema poznavanju teorije funkcija Gavrilović i onda i sada mogao biti profesor tog predmeta na bilo kom evropskom univerzitetu, dok je kao naučnik apsolutno bio čovek koji je imao matematičkog duha i talenta. Već u 35. godini Gavrilović za sobom ima dva udžbenika, jedan iz analitičke geometrije, drugi iz linearne algebre u ukupnom obimu od 1250 stranica. Ovim se odužio studentima i univerzitetu kao nastavnik. Prema rečima akademika Radivoja Kašanina "oba, a naročito poslednji činili bi čast svakoj naciji, i mnogi narodi, u to doba veći i srećniji od nas, nisu tada takva dela imali".

Gavrilović je za kratko vreme napisao dvadesetak dosta kvalitetnih radova. Ipak, Gavrilovićevi radovi, možda nezasluženo, nisu ostavili velikog traga u beogradskoj matematičkoj sredini, na međunarodnom planu još manje, jer su svi bili objavljeni na srpskom. Gavrilović nije imao doktoranata, niti je za sobom ostavio direktnog učenika. Možemo reći da je njegov rad u nauci ostao u senci jednog drugog velikog srpskog matematičara, njegovog druga i kolege, Mihaila Petrovića, sa kojim je bio praktično sam na beogradskoj matematičkoj sceni celih 15 godina, od 1894. (kada Petrović dolazi u Beograd za profesora) do 1909. (kada Milutin Milanković dolazi na Beogradski univerzitet). Jedno viđenje ove situacije daju reči akademika Miodraga Tomića, da je u naučnom radu Gavrilović predstavljao prelaz od Dimitrija Nešića ka Mihailu Petroviću. Ovde ipak moramo ponoviti da su teme Gavrilovićevih radova bile za svoje vreme savremene, a da neki od njegovih naučnih rezultata i danas, skoro sto godina od vremena njihovog pojavljivanja, mogu biti od interesa.

Ali Gavrilović nije bio samo jednostavan i povučen univerzitetski profesor matematike. On je takođe bio odličan organizator naučnog rada koji je bitno doprineo prerastanju Velike škole u Beogradski univerzitet, zatim stvaranju biblioteke Matematičkog seminara koja će biti jedna od osnova u naučnom radu beogradskih matematičara. Akademik Gavrilović je bio eminentan prosvetni i kulturni radnik koji je razmišljao i imao stav o mnogim važnim pitanjima iz života svoga naroda, politike, istorije i filozofije. Kao čovek univerzalnog duha, svoju nauku nije posmatrao izolovano, već u svetlu drugih nauka i kulturnih tekovina. O tome svedoče njegovi govori, mnogobrojni članci i besede u raznim važnim prilikama iz beogradskog društvenog i naučnog života. Kao pripadnik najužeg beogradskog intelektualnog kruga, doprineo je stvaranju jedne posebne atmosfere zahvaljujući kojoj od provincijskog grada naš Beograd postaje jedan od centara naučnog rada. Zajedno sa Mihailom Petrovićem i Milutinom Milankovićem uvodi modernu matematiku u Srbiji. Da završimo rečima Radivoja Kašanin, njegovog asistenta i naslednika na Katedri matematike Tehničkog fakulteta, koji ovako na jednom mestu opisuje tu atmosferu: "Pored visoke stručne spreme i originalnih naučnih radova, sva trojica su se odlikovala nečim što najviše cenim, što smatram za ljudsku vrednost najvišeg ranga: ljubav prema mladim generacijama, razumevanje mladih ljudi, nesebičnost i iskrena pomoć mladim, talentovanim ljudima u njihovom napredovanju. Umeli su da se raduju i da uživaju kad se mladi ljudi uzdižu. Imao sam sreću da se razvijam i radim pored njih, velikih autoriteta nauke i morala. Da se ponosim njihovim prijateljstvom. Ne verujem da je igde postojao takav ambijent kakav su stvorili Gavrilović, Petrović i Milanković."

Napomena. Zahvaljujem kolegi Miroslavu Pavloviću za pomoć u analizi Gavrilovićevih radova iz teorije funkcija. Takođe zahvaljujem kolegama R. Daciću, Z. Markoviću, i M. Raškoviću koji su rukopis pročitali i dali primedbe, i bibliotekarki B. Bubonja na prikupljanju materijala za ovaj tekst.

Kompletna biografija

Žarko Mijajlović

Tekst preuzet iz knjige Život i delo srpskih naučnika, knjiga 2. SANU, Beograd 1997.