9.
Kod jednakih piramida koje imaju trouglove u osnovama osnove su obrnuto proporcionalne visinama; i ako su kod piramida koje imaju trouglove u osnovama osnove obrnuto proporcionalne visinama, piramide su jednake.
Neka su date jednake piramide sa trouglovima ABG i DEZ u osnovama i sa vrhovima u tačkama H i Q. Tvrdim da su kod piramida ABGH i DEZQ osnove obrnuto proporcionalne visinama, tj. da je osnova ABG prema osnovi DEZ kao visina piramide DEZQ prema visini piramide ABGH.
Zaista, dopunimo paralelepipede BHML i EQpO. Pošto je pitamida ABGH jednaka piramidi DEZQ a telo BHML je šest puta veće od piramide ABGH i telo EQpO šest puta veće od piramide DEZQ, biće telo BHML jednako telu EQpO. Ali su kod jednakih paralelepipeda osnove obrnuto proporcionalne visinama [XI.34]. No osnova BM je prema Ep kao trougao ABG prema trouglu DEZ [I.34]. Znači trougao ABG se odnosi prema trouglu DEZ kao visina tela EQpO prema visini tela BHML [V.11]. Ali visina tela EQpO je jednaka visini piramide DEZQ i visina tela BHML je jednaka visini piramide ABGH. Na taj način se osnova ABG odnosi prema osnovi DEZ kao visina piramide DEZQ prema visini piramide ABGH. Prema tome su kod piramida ABGH i DEZQ osnove obrnuto proporcionalne visinama.
Neka su sad kod piramide ABGH i DEZQ osnove obrnuto proporcionalne visinama, tj. osnova ABG je prema osnovi DEZ kao visina piramide DEZQ prema visini piramideABGH. Tvrdim da je piramida ABGH jednaka piramidi DEZQ.
Zaista, posle iste konstrukcije, pošto je osnova ABG prema osnovi DEZ kao i visina piramide DEZQ prema visini piramide ABGH, a osnova ABG je prema osnovi DEZ kao paralelogram BM prema paralelogramu Ep, biće paralelogram BM prema paralelogramu Ep kao visina piramide DEZQ prema visini piramide ABGH [V.11]. No visina piramide DEZQ je jednaka visini paralelepipeda EQpO, a visina piramide ABGH je jednaka visini paralelepipeda BHML. Prema tome je osnova BM prema osnovi Ep kao visina paralelepipeda EQpO prema visini paralelepipeda BHML. Ali ako su kod nekih paralelepipeda osnove obrnuto proporcionalne visinama, takvi su paralelepipedi jednaki [XI.34]. Znači, paralelepiped BHML jednak je paralelepipedu EQpO. A kako je piramida ABGH šesti deo od BHML, a piramida DEZQ šesti deo od paralelepipeda EQpO, biće i piramida ABGH jednaka piramidi DEZQ.
Na taj način, kod jednakih piramida koje imaju trouglove u osnovama osnove su obrnuto proporcionalne visinama; i ako su kod piramida koje imaju trouglove u osnovama osnove obrnuto proporcionalne visinama, piramide su jednake. A to je trebalo dokazati.