Anton Dimitrija Bilimović je rođen 20. jula 1879. godine u Žitomiru u Ukrajini. Njegov otac je bio vojni lekar. Osnovnu školu je završio u mestu Vladimir na Kljazmi u današnjoj Rusiji. Po završetku Kadetskog korpusa upisao je Nikolajevsku inženjersku akademiju u Sankt Peterburgu, ali se kasnije prebacio na Fizičko-matematički fakultet Kijevskog univerziteta. Diplomirao je 1903. godine sa zlatnom medaljom.
Magistrasku tezu pod nazivom Jednačine kretanja konzervativnih sistema i njihova primena odbranio je na Kijevskom univerzitetu 1903. godine. Od 1905. do 1907. godine bio je na usavršavanju u Parizu i Getingenu. 1907. godine u Odesi je odbranio doktorsku disertaciju Kontaktno kretanje čvrstih tela, prvi deo: kretanje sa jednim stepenom slobode.
U Rusiji je radio od 1903. do 1920. godine, prvo kao asistent na Katedri za mehaniku Kijevskog univerziteta, potom od 1907. godine kao privatdocent na Kijevskom univerzitetu i konačno od 1915. godine kao redovni profesor Novorosijskog univerziteta u Odesi. Na istom univerzitetu u dva navrata je bio rektor.
Anton Bilimović je u Srbiji radio od aprila 1920. pa do svog penzionisanja 15. februara 1955. godine. Po dolasku u Srbiju
izabran je za vanrednog profesora Filozofskog fakulteta u Beogradu, da bi već 1926. godine postao redovni profesor
Filozofskog fakulteta za oblast racionalna mehanika i primenjena matematika. Profesor Bilimović izabran je za dopisnog člana
Srpske akademije nauka i umetnosti 1925. godine, a od 1936. godine bio je redovni član Akademije.
U toku Drugog svetskog rata bio je udaljen sa Univerziteta, ali je po njegovom završetku primljen nazad.
Anton Bilimović je prvi upravnik Matematičkog instituta Srpske akademije nauka i umetnosti osnovanog 1946. godine. Takođe je bio jedan od osnivača Odeljenja za tehničke nauke Srpske akedemije nauka i umetnosti i osnivač Jugoslovenskog društva za mehaniku. 1926. godine postao je direktor i osnivač Kluba matematičara Beogradskog univerziteta, a 1936. godine je osnovao časopis Publications de l'Institut Mathématique.
Profesor Bilimović umro je u Beogradu 17. septembra 1970. godine.