Naći krug koji dodiruje dati krug i datu pravu i prolazi kroz datu tačku

Neka su dati: krug $O_1$, prava $p_1$ i tačka A. Traženi krug O treba da dodiruje dati krug $O_1$, datu pravu $p_1$ i prolazi kroz datu tačku A (sl. 21).

1. Analiza: Ako iz centra $O_1$ datog kruga spustimo normalu $O_1E$ na datu pravu $p_1$ i krajeve odgovarajućeg prečnika označimo sa C i D, pojedine operacije možemo tumačiti na sledeći i način:
   
   1. Dat je krug $O_1$ sa tačkom E, koja je projekcija tačaka C, $O_1$ i D na pravoj $p_1$. Tačka $M_1$ je središte duži CE, a tačka $M_2$ središte duži CA.
   2. Krug ACE sa centrom $O^{\ast}$ određuje se kao u zadatku 1⁶.
   3. Presečna tačka prave DA i kruga ACE određuje tačku B na tom krugu.
   4. Dve tačke A i B određuju simetralu s tetive AB, a presečna tačka ove simetrale sa pravom $p_1$ je tačka S.
   5. Na simetrali s uzmimo proizvoljnu tačku $O'$.
   6. Odmeravamo rastojanje tačke O' od prave $p_1$. Označimo to rastojanje sa $O'p_1 = d$.
   7. Na produženju SA određujemo tačku $A_1$ sa rastojanjem d od tačke $O'$.
   8. Iz tačke A konstruišemo pravu paralelnu sa $A_1O'$. Ova prava se seče sa simetralom s u tački O, a to je centar traženog kruga, koji prolazi kroz A, B, K, G, gde su K i G dodirne tačke sa datim krugom i datom pravom.
2. Konstrukcija: Konsrukcija neposredno sledi iz analize i u slučaju kada traženi krug sa unutrašnje strane dodiruje dati krug.

3. Dokaz: Elementi dokaza nalaze se u analizi.

4. Diskusija: U ovom zadatku, zbog raznolikosti datih elemenata - kruga, prave i tačke, u proizvoljnim položajima, specijalni slučajevi su mnogobrojni, pa nećemo ulaziti detaljno u sve mogućnosti. Međutim, obratićemo pažnju na metodu koja je bila primenjena pri rešavanju ovog zadatka. Ona se sastoji u uvođenju nekog novog geometrijskog objekta koji spaja raznovrsne date elemente. Pri rešavanju ovog zadatka bio je uveden krug ACE, pomoćne uloge, koji spaja datu tačku A, datu pravu $p_1$ i dati krug $O_1$. Spajanje tačke A sa D određuje tačku B, koja rešava problem.