Naći krug koji dodiruje dve date prave i dati krug

Neka su $p_1$ i $p_2$ dve date prave i $O_1$ dati krug (sl. 12).

1. Analiza: Treba konstruisati krug koji dodiruje date prave $p_1$ i $p_2$ i krug $O_1$ poluprečnika R. Njemu koncentričnan krug, poluprečnika r+R prolazi kroz centar $O_1$ datog kruga i dodiruje prave $p_1$$'$ i $p_2$$'$, paralelne pravama $p_1$ i $p_2$, na odstojanju R od njih. Prema tome, zadatak se svodi na konstukciju kruga koji dodiruje dve date prave $p_1$$'$ i $p_2$$'$ i prolazi kroz datu tačku $O_1$, odnosno tačku A, a to je zadatak 4. Kako smo videli u zadatku 4, kroz tačku A možemo povući dva kruga koji dodiruju prave $p_1$$'$ i $p_2$$'$, pa prema tome, imamo i dva kruga koji dodiruju prave $p_1$ i $p_2$ i spolja krug $O_1$. Sem toga, povukli smo i dve prave $p_1$$'$ i $p_2$$'$ izvan ugla datih pravih $p_1$ i $p_2$, ali možemo uzeti u obzir krugove koji isto tako dodiruju prave $p_1$ i $p_2$, ali krug $O_1$ dodiruju iznutra. U tom slučaju, koncentrične krugove k(O, r) i k(O, r+R) dodiruju prave paralelne pravama $p_1$ i $p_2$, ali ne one koje se nalaze spolja, već u uglu. Označimo ih sa $p_1$$''$ i $p_2$$''$ (ove dve prave nisu predstavljene na slici).


2. Konstrukcija: Konstruišimo najpre van datog ugla dve prave $p_1$$'$ i $p_2$$'$ paralelne pravama $p_1$ i $p_2$, na rastojanju R od njih. Kroz centar datog kruga povucimo dva kruga koji dodiruju prave $p_1$$'$ i $p_2$$'$ (na slici je prikazan samo jedan od njih) ⁵. Neka centri tih krugova budu u tačkama $O_1$ i $O_2$. Sa tim centrima konstruišimo koncentrične krugove poluprečnika smanjenih za poluprečnik datog kruga. Dobijena dva koncentrična kruga odgovaraju uslovima zadatka.
   Na sličan način, ako povučemo paralelne prave $p_1$$''$ i $p_2$$''$, u datom uglu i ponovo prema zadatku 4. konstruišemo dva kruga koji dodiruju te prave i prolaze kroz centar datog kruga, onda ćemo dobiti dva centra $O_3$ i $O_4$. Krugovi istih centara, sa poluprečnicima povećanim za poluprečnik datog kruga, dodiruju date prave $p_1$ i $p_2$ i dati krug $O_1$ ali unutrašnjim dodirom.
3. Dokaz: Tačnost konstrukcije kruga koji dodiruje dve date prave i prolazi kroz datu tačku bila je potvrđena u zadatku 4. Za dokaz tačnosti konstrukcije krugova u ovom zadatku dovoljno je navesti dve osobine krugiva:
   1. ako imamo krug O koji prolazi kroz centar $O_1$ datog kruga, onda posle smanjenja poluprečnika kruga O za dužinu poluprečnika kruga $O_1$, koncentični krug dodiruje krug $O_1$
   2. ako imamo krug O koji dodiruje pravu $p_1$$'$, onda posle smanjenja poluprečnika kruga O za dužinu rastojanja između paralelnih pravih $p_1$ i $p_1$$'$ novi koncentrični krug će dodirivati pravu $p_1$. Slične osobine krugova važe i za krugove čiji se poluprečnici povećavaju.

4. Diskusija: U diskusiji ćemo se zaustaviti na navođenju nekoliko karakterističnih slučajeva, koji će u dovoljnoj meri dati sliku mogućih rešenja ovog zadatka.
   1. Ako dati krug $O_1$ ceo leži u uglu pravih $p_1$ i $p_2$, koji ćemo označiti sa $\alpha$, onda navedene konstukcije daju četiri kruga, dva spoljašnjeg dodira i dva unurrašnjeg (sl. 13).
   
   
   2. Ako krug $O_1$ dodiruje pravu $p_2$, a leži u uglu, vidi se da se krugovi sa unutrašnjim dodirom poklapaju. Pojavljuje se još jedan krug spoljašnjeg dodira za koji je prava $p_2$ zajednička tangenta kruga $O_1$ i tog novog dodirnog kruga (sl. 14).
   
   
   3. Ako krug $O_1$ seče samo pravu $p_2$, krugovi unutrašnjeg dodira su nemogući, ali se umesto njih pojavljuju dva kruga spoljašnjeg dodira, znači ukupno četiri(sl. 15).
   
   
   4. Ako krug $O_1$ dodiruje obe date prave $p_1$ i $p_2$, tada se krug unutrašnjeg dodira degeneriše u dati krug $O_1$, ali se pojavljuju još dva kruga spoljašnjeg dodira (sl. 16).
   
   
   5. Ako krug O seče neku pravu, recimo $p_2$ i dodiruje drugu, krugova unutrašnjeg dodira nema, ali ima pet krugova spoljašnjeg dodira: dva u uglu $\alpha$ - $O_1$ i $O_2$, dva u uglu $\beta$, gde se nalazi drugi deo datog kruga $O_1$, i to $O_3$ i $O_4$, i jedan u uglu $\gamma$, suprotnom uglu $\beta$ - krug $O_5$ (sl. 17).
   
   
   6. Ako krug $O_1$ seče obe prave, ali se presečna tačka datih pravih nalazi van datog kruga, postoji šest krugova spoljašnjeg dodira (sl. 18).
   
   
   7. Ako krug $O1$ seče obe prave i presečna tačka pravih se nalazi u krugu, imamo četiri kruga unutrašnjeg dodira, i to po jedan krug u svakom od četiri ugla koji obrazuju te prave (sl. 19).
   
   
   8. Kao poslednji slučaj navedimo mogućnost kada krug $O_1$ prolazi kroz presečnu tačku pravih $p_1$ i $p_2$ i ne dodiruje nijednu od njih. U ovom slučaju imamo samo jedan krug unutrašnjeg dodira. Preostala tri kruga unutrašnjeg dodira degenerišu se u presečnu tačku datih pravih. Osim toga, imamo još tri kruga spoljašnjeg dodira (sl. 20).