Naći krug koji dodiruje tri date prave

Neka su date tri prave $p_1$, $p_2$, $p_3$. Treba konstruisati krug koji dodiruje te tri prave.

1. Analiza: Ovaj zadatak formulisan rečima
   '' U dati trougao upisati krug'' takođe se nalazi u IV knjizi, stav 4, Euklidovih '' Elemenata''.
   Ovako glasi tekst ovog stava u prevodu:
   Neka je dat trougao $AB\Gamma$(sl. 11a). Treba u dati trougao upisati krug.
   Prepolovimo uglove $AB\Gamma$ i $A\Gamma B$ pravama $B\Delta$ i $\Gamma\Delta$ i neka se te prave seku u tački $\Delta$. Povucimo iz tačke $\Delta$ na prave AB, $B\Gamma$, $\Gamma A$ normale $\Delta E$, $\Delta Z$, $\Delta H$. Kako je ugao $AB\Delta$ jednak uglu $\Gamma B\Delta$, a pravi ugao $BE\Delta$ jednak pravom uglu $BZ\Delta$, dva trougla $EB\Delta$ i $ZB\Delta$ će imati po dva ugla jednaka i po jednu stranicu jednaku, i to stranicu $B\Delta$ naspram jednakih uglova. Prema tome će i ostale stranice jednog trougla biti jednake ostalim stranicama drugog, tj. $\Delta E$ će biti jednako $\Delta Z$. Iz istih razloga i $\Delta H$ je jednako $\Delta Z$. To znači da su tri duži $\Delta E$, $\Delta Z$, $\Delta H$ međusobno jednake. Prema tome krug sa centrom u $\Delta$, opisan rastojanjem do jedne od tačaka E, Z, H kao poluprečnikom, će proći i kroz ostale tačke i u tačkama E, Z, H i dodirivati prave AB, $B\Gamma$, $\Gamma A$, jer su uglovi u tim tačkama pravi. Zaista, kad bi on sekao te prave, onda bi normala na prečnik, koja prolazi kroz njegov kraj, bila u krugu, a to je, kao što je dokazano, nemoguće. Prema tome, krug sa centrom u $\delta$ opisan rastojanjem do bilo koje od tačaka E, Z, H ne seče prave AB, $B\Gamma$, $\Gamma A$. Dakle, on ih dodiruje i biće krug upisan u trougao $AB\Gamma$. Neka je on upisan kao ZHE. Na ovaj način je u dati trougao $AB\Gamma$ upisan krug EZH, a to je i trebalo izvesti.
   Analiza ovog zadatka može se izveti i nasledeći način:
   Kako centar svakog kruga, koji dodiruje dve prave, mora da se nalazi na simetrali ugla između tih pravih, to se centar svakog kruga, koji dodiruje tri prave, mora nalaziti u preseku takvih simetrala, koje se sve tri seku u istoj odgovarajućoj tački Rri tom su uzete simetrale unutrašnjih ili spoljašnjih uglova. Tako ćemo dobiti, u opštem slučaju četiri kruga: krug sa centrom u O, upisan u trougao ABC (sl. 11b) i tri kruga sa centrima $O_1$, $O_2$, $O_3$, spolja dopisanih tom trouglu.





2. Konstrukcija: Konstruišemo simetrale $s_A$, $s_B$, $s_C$, uglova A, B, C i normale na te prave $n_A$, $n_B$, $n_C$, koje su ustvari simetrale spoljašnjih uglova. Preseci pravih ($s_A$, $s_B$, $s_C$), ($s_A$, $n_B$, $n_C$), ($n_A$, $s_B$, $n_C$), ($n_A$, $n_B$, $s_C$) daju centre O - upisanog kruga i $O_1$, $O_2$, $O_3$ - spolja dopisanih krugova.
3. Dokaz: Dokaz se zasniva na tome da se svaki centar nalazi na istom odstojanju od tri odgovarajuće prave.
4. Diskusija: Treba proučiti sve moguće položaje pravih $p_1$, $p_2$, $p_3$ i u vezi sa tim položaje četiri gore navedena kruga.