Naći krug koji dodiruje dve date prave i prolazi kroz datu tačku

Neka su date dve prave $p_1$ i $p_2$ i tačka A (sl. 10). Treba konstruisati krug koji dodiruje prave $p_1$ i $p_2$ i prolazi kroz tačku A.

1. Analiza: Uočimo prave $p_1$ i $p_2$ i njihovu presečnu tačku S. Pretpostavimo da se tačka A nalazi na slici u postavljenom uglu.
   Povucimo simetralu s datog ugla i uzmimo na njoj neku tačku K za centar kruga koji dodiruje prave $p_1$ i $p_2$. Dodirne tačke označimo sa $T_1$ i $T_2$.
   Datu tačku A spojimo sa tačkom S pravom AS i presečne tačke te prave sa krugom K označimo sa $A_1$ i $A_2$. Iz tačke A povucimo pravu AT paralelnu sa $A_1T_1$. Neka ona seče pravu $p_1$ u tački T. Prava iz T, normalna na $p_1$, seče simetralu s u tački O, koja je centar traženog kruga.
   Na slici je skiciran i drugi krug koji prolazi kroz tačku A i dodiruje prave $p_1$ i $p_2$. Taj drugi krug se dobija povlačenjem AT'' paralelno sa $A_2T_1$ i konstrukcijom normale T''O' na pravu $p_2$.


2. Konstrukcija: Postupak konstrukcije opisan je u analizi.

3. Dokaz: Izostavljamo dokaz, jer je način razmišljanja predstavljen detaljno u analizi.

4. Diskusija: Prave $p_1$ i $p_2$ mogu biti u sledećim položajima:

   1. seku se
   2. paralelne su
   3. poklapaju se
   Tačka A može biti u jednom od položaja:
   a) bilo gde u ravni osim na pravama $p_1$ i $p_2$
   b) na jednoj od pravih, sem tačke S, preseka pravih $p_1$ i $p_2$
   c) u tački S preseka pravih
   Navedimo i rešenja pomenutih slučajeva. Slučajeve ćemo označavati tako da broj označava uslov za prave, a slovo za njim, uslov za tačku. 1.a) Dva kruga koja prolaze kroz tačku A i dodiruju prave $p_1$ i $p_2$.
   1.b) Dva kruga koja prolaze kroz tačku A na pravoj $p_1$ i dodiruju prave $p_1$ i $p_2$
   1.c) Krug degeneriše u tačku A
   2.a) Dva kruga
   2.b) Jedan krug
   2.c) Slučaj je nemoguć
   3.a) Dva sistema krugova sa jedne strane dvostruke prave
   3.b) Dva sistema krugova
   3.c) Krug degeneriše u tačku A