Neka su date dve tačke A i B i prava .
Treba kroz tačke A i B povući krug koji dodiruje pravu .
- Analiza: Na simetrali s duži AB se nalazi centar svakog kruga koji prolazi kroz tačke A i B. Tačka S je presek simetrale s sa datom pravom .
Uzmimo na simetrali s proizvoljnu tačku K i spustimo normalu KD na pravu . Pomoćni krug poluprečnika KD sa centrom u K dodiruje pravu , ali ne mora prolaziti kroz tačke A i B.
Neka prava AS seče krug K u tački . Konstuišemo duž paralelno sa . Neka je projekcija tačke na pravu . Iz sledećih proporcija koje važe:
sledi da je
Kako je , to je , a kako je tačka na simetrali s, to je .
Dakle važi
Za određivanje drugog traženog kruga O2 može se uzeti u obzir da je:
|
(1) |
gde je podnožje normale spuštene iz na pravu , a C, presek prave i prave kroz date tačke A i B. Jednačina (1) izražava jednakost potencije tačke C u odnosu na krug , čiji je izraz:
i potencije iste tačke C u odnosu na krug
Posle određivanja tačke na , konstrukcijom normale na u tački , određuje se položaj tačke , centra drugog traženog kruga, a time i sam traženi krug.
- Konstrukcija: Konstrukcija se vrši ovim redosledom:
- Za date tačke A, B i datu pravu se konstruiše simetrala s duži AB i presečna tačka te simetrale i prave se označi sa S. Na pravoj s uzme se proizvoljna tačka K i tačka M, sredšte duži AB.
- Iz tačke K spuštamo normalu na i podnožje označimo sa D. Krug sa poluprečnikom KD dodiruje pravu .
- Iz tačke A crtamo pravu AS i sa označimo presečnu tačku te prave sa krugom K.
- Presek , prave , paralelne sa i simetrale s, određuje centar prvog traženog kruga.
- Za drugi krug odmerimo od C duž .
- Iz dižemo normalu na pravu . Presek te normale sa simetralom s određuje centar drugog traženog kruga.
- Dokaz: U konstrukciji je postupno opisan način razmišljanja, tako da u dokazu navodimo samo stav da dve potencije iste tačke imaju iste vrednosti izražene pomoću kvadrata tangentnih odsečaka.
- Diskusija: Uslovi ovog zadatka se izražavaju položajem određene duži AB prema datoj pravoj . Za parametre tih podataka možemo uzeti ove tri veličine:
- h je odstojanje tačke A od prave ,
- H je odstojanje tačke B od iste prave
- d je rastojanje između h i H
Pri tome, mora da važi:
Rezultati diskusije (sl. 8) mogu se svesti u tablicu:
2005-04-12