UVOD

Neke osnovne primedbe

Uvedimo ovde radi boljeg razumevanja teksta nekoliko pojmova i teorema iz teorije krugova.

1. Pojam potencije ili stepena tačke u odnosu na krug određuje se
   proizvodom (sl.1)
   
   $$M_0M_1\cdot M_0M_2 = k$$
   
   
   gde su: $M_0$ tačka čija se potencija određuje, $M_1\hspace{0.1cm}i\hspace{0.1cm} M_2$ tačke na sečici kruga kroz $M_0$ i k kratka oznaka proizvoda dve duži: odsečka sečice $M_0M_2$ i spoljašnjeg dela $M_0M_1$.
   
   

   Ako sa T označimo dodirnu tačku tangente kruga povučene iz M0 možemo sastaviti proporciju
   

   $$M_0M_2 : M_0T=M_0T:M_0M_1$$
   
   
   i, kao zaključak, izvesti ovaj rezultat:
   
   $$\overline{M_0T^{2}}=k,$$
   
   
   koji izražava važnu teoremu:
   Teorema 1   1.5 Potencija tačke u odnosu na krug jednaka je kvadratu odsečka tangente $M_0T=T$ povučene iz date tačke na krug.
   k je pozitivno za tačku $M_0$ van kruga; duži $M_0M_1$ i $M_0M_2$ imaju isti smer.
   k je nula, ako je tačka $M_0$ na periferiji kruga.
   k je negativno, ako je tačka $M_0$ unutra u krugu; $M_0M_1$ i $M_0M_2$ su suprotnih smerova.
   Za tačku $M_0$ u krugu imamo(sl.2)
   
   $$k=M_0M_1\cdot M_0M_2 = M_0N_1\cdot M_0N_2,$$
   
   
   
   
   gde su $N_2$, O, $M_0$, $N_1$ tačke na prečniku kruga, koji prolazi kroz tačku $M_0$. Trouglovi $M_0M_1N_1$ i $M_0M_2N_2$ su slični.
   Ako stavimo $M_0N_1=a$ i $M_0N_2=b$, imamo važan rezultat:
   
   $$k=-ab=-h^{2},$$
   
   
   gde je h dužina normale $M_0L$ podignute iz tačke $M_0$ na prečnik $N_1N_2$. Za opštu karakteristiku promene potencije tačke $M_0$ sa rastojanjem $OM_0=d$ od centra kruga poluprečnika R, može poslužiti sledeća tablica:
   

   $d=0$	$0<d<R$	$d=R$	$d>R$	$d\rightarrow \infty$
   $k= - R^{2}$	$k=-ab=-h^{2}$	$k=0$	$k=T^{2}=d^{2}-R^{2}$	$k\rightarrow \infty$

   Teorema 2   Ako jednačinu kruga u Dekartovim koordinatama napi-šemo u obliku:
   

   $$x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=\varphi(x,y)=0,$$

   
   

   gde su a,b,c date konstante, onda potencija tačke $M_0(x_0,y_0)$ u odnosu na taj krug ima vrednost
   

   $$k=k(x_0,y_0)=\varphi(x_0,y_0).$$

   
   

   Uvedimo sad pojam radikalne ose dva kruga.

2. Radikalna osa dva data kruga je geometrijsko mesto tačaka, takvih da je vrednost potencije svake takve tačke, u odnosu na jedan krug jednaka vrednosti potencije u odnosu na drugi krug $-$ drugim rečima, jednake su dužine tangenata iz svake tačke povučene na jedan i drugi krug (sl. 3). Na slici je prikazan jednostavan način konstrukcije tačke M radikalne ose dva kruga O i $O_1$ pomoću trećeg kruga $O_3$, koji prolazi kroz tačke A, B, $A_1$, $B_1$.
   
   
   Teorema 3   Ako su dva kruga data jednačinama
   

   $$\varphi(x,y)=0,\hspace{0.3cm} \psi(x,y)=0,$$

   
   

   jednačina radikalne ose biće
   

   $$\varphi(x,y)-\psi(x,y)=0.$$

   
   

   Ako se dati krugovi seku, ova jednačina je zadovoljena koordinatama presečnih tačaka, pa je radikalna osa prava određena zajedničkom te-tivom, a ako se krugovi dodiruju onda je to zajednička tangenta u dodirnoj tački.

   Primer 1   Neka su data dva kruga O i $O_1$ jednačinama:
   

   $$\mathrm{\varphi(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}=0,} \qquad \mathrm{\psi(x,y)=(x-d)^{2}+y^{2}-R^{2}=0}$$

   
   

   Jednačina radikalne ose
   

   $$\mathrm{\varphi(x,y)-\psi(x,y)=0}$$

   
   

   daje
   

   $$x=1/2(d+m)$$

   
   

   gde je $d=OO_1$ rastojanje centra krugova, a
   

   $$m=(r^{2}-R^{2})/d=-(R+r)(R-r)/d$$

   
   

3. Radikalni centar tri kruga
   Teorema 4   1.5 Tri kruga sa centrima $O_1,\hspace{0.1cm} O_2,\hspace{0.1cm} O_3$, čiji su poluprečnici $R_1,\hspace{0.1cm} R_2,\hspace{0.1cm} R_3$ i centralna rastojanja $O_2O_3=d_{23},\hspace{0.1cm} O_3O_1=d_{31},$ $O_1O_2=d_{12}$ imaju tri radikalne ose, koje ćemo označiti sa $p_{23}, p_{31},p_{12}$.
   U opštem slučaju tri radikalne ose za tri kruga seku se u zajedničkoj tački koja se zove radikalni centar tri data kruga.

   Ako jednačine krugova izrazimo u obliku
   

   $$\varphi_1(x,y)=0, \hspace{0.15cm} \varphi_2(x,y)=0, \hspace{0.15cm} \varphi_3(x,y)=0,$$
   
   
   jednačine radikalnih osa se određuju jednačinama ovog sistema:
   za $p_{23}, \hspace{1cm}\varphi_2(x,y)-\varphi_3(x,y)=0$
   za $p_{31}, \hspace{1cm} \varphi_3(x,y)-\varphi_1(x,y)=0$
   za $p_{12},\hspace{1cm} \varphi_1(x,y)-\varphi_2)x,y)=0$
   Pošto je svaka od ovih jednačina linearna po x i y, onda vrednosti x i y, koje zadovoljavaju, recimo prve dve jednačine, zadovoljavaju i onu jednačinu koja se dobiva sabiranjem tih jednačina. Međutim, posle takvog sabiranja se dobiva treća jednačina. Na taj način presečna tačka prve dve radikalne ose pripada i trećoj osi. Tri radikalne ose u opštem slučaju imaju samo jednu presečnu tačku koja i služi kao radikalni centar datih krugova.
   Treba isključiti specijalne slučajeve. Npr. u slučaju kolinearnosti centara krugova radikalne ose su paralelne i one ne određuju presečnu tačku, drugim rečima one odlaze u beskonačnost.

Oznake

1. Dati parametri: tačke A,B,C; prave: $p_1,p_2,p_3$; krugovi: $O_1,O_2,O_3$.
2. Traženi krugovi: $O', O''$,
3. Pomoćne tačke: M,N,P,Q, $\cdots$ ; pomoćne prave: p,q,r, $\cdots$ ; pomoćni krugovi: $O^{\ast},O^{\ast{\ast}}$, $\cdots$ ili $K,K_1,K_2,\cdots K_n$.

S i s t e m a t s k a     s h e m a    z a d a t a k a
s a     s k i c a m a (sl.4):

1. A    B    C tri tačke
2. A    B    $p_1$ dve tačke i prava
3. A    B    $O_1$ dve tačke i krug
4. $p_1$     $p_2$     A dve prave i tačka
5. $p_1$     $p_2$     $p_3$ tri prave
6. $p_1$     $p_2$     $O_1$ dve prave i krug
7. $O_1 \quad p_1$     A krug, prava i tačka
8. $O_1 \quad O_2$     A dva kruga i tačka
9. $O_1 \quad O_2 \quad p_1$ dva kruga i prava
10. $O_1 \quad O_2 \quad O_3$ tri kruga

D o p u n s k i     z a d a c i (sl. 5)

1. A    $p_1$     r    tačka, prava i poluprečnik traženog kruga
2. $O_1$    A     r    krug, tačka i poluprečnik traženog kruga
   

Izvođenje svake elementarne geometrijske konsrukcije zasniva se na osnovnim geometrijskim konstrukcijama, na postulatima geometrijskih konstrukcija, koji traže da se u ravni može operisati sa ovim objektima:

1. sa tačkom kao presekom dve prave
2. sa pravom kroz dve date tačke
3. sa krugom datog centra i datog poluprečnika
4. i da se mogu odrediti presečne tačke dve prave, prave i kruga i dva kruga, ako takve tačke postoje.

Za konstrukciju, koja se izvodi samo pomoću konačnog broja navedenih osnovnih konstrukcija, kratko se kaže da je izvodljiva samo šestarom i le-njirom. U svojoj čuvenoj knjizi, Grundlagen der Geometrije D.Hilbert¹ proučava i aksiomatiku konstruktivnih zadataka.
Pri rešavanju konstruktivnih zadataka u opštem slučaju pojavljuju se ovi poznati delovi potpunog rešenja:

         I Proučavanje ili analiza zadataka
         II Konstrukcija zadataka
         III Dokaz
         IV Raspravljanje ili diskusija zadataka

Plan obrade jednog konstruktivnog zadatka, izložen u ova četiri dela, ima ogroman značaj kako u matematičkim naukama, tako uopšte u slučajevima problema, malih i velikih, privatnih i društvenih. Primeri konstruktivnih zadataka jasno pokazuju da je rad bez potpunog plana, npr. samo izvođenje konstrukcije, nedovoljan. Svaki problem je potpuno realan, ako se mogu postići odgovarajući rezultati u svakom delu skiciranog plana. To se prime-njuje i na opšte probleme sa odgovarajućim promenama u vezi sa prirodom zadataka.