$\beta$

Naći krug datog poluprečnika, koji prolazi kroz datu tačku i dodiruje dati krug

Neka je dat krug $O_1$ poluprečnika R i tačka A. Treba kroz tačku A povući krug datog poluprečnika r, tako da on dodiruje krug $O_1$ (sl. 26).

1. Analiza: Ako izostavimo uslov da traženi krug prolazi kroz tačku A, geometrijsko mesto centara krugova poluprečnika r, koji dodiruju krug $O_1$ je krug koncentričan tom krugu ($O_1$), sa poluprečnikom R + r, ako se tačka A nalazi van kruga $O_1$.
   Sa druge strane, ako izostavimo uslov da traženi krug dodiruje krug $O_1$, tada će se njegov centar nalaziti na rastojanju r od tačke A, odnosno pripadaće drugom geometrijskom mestu- krugu poluprečnika r, sa centrom u A.
   Preseci navedena dva geometrijska mesta, ukoliko postoje će biti $O$ i $O_1$, centri traženih krugova.
2. Konstrukcija: Konstruišimo:
   1. krug poluprečnika R + r, tako da bude koncentričan krugu $O_1$
   2. krug poluprečnika r, sa centrom u A
   Tačke $O$ i $O'$ preseka konstruisanih krugova daju položaje centara traženih krugova. U konkretnom slučaju (sl. 26) problem ima dva rešenja.
3. Dokaz: Konstruisani krugovi prolaze kroz tačku A, jer su centri $O$ i $O'$ na odstojanju r od te tačke. Konstruisani krugovi dodiruju krug $O_1$, jer rastojanje centara krugova $O_1$ i $O$, odnosno $O'$ iznosi R + r, ato je uslov spoljašnjeg dodira krugova.
4. Diskusija: U diskusiji problem razmatramo tri veličine:
   R - poluprečnik datog kruga
   r - dati poluprečnik traženog kruga
   d - rastojanje između centra $O_1$, datog kruga i date tačke A
   Primetimo da za poluprečnik R možemo posmatrati istu veličinu za sve moguće slučajeve, jer je uvek moguće promeniti dimenzije slike.
   Rešenja su prikazana u tabeli:
   
   

   USLOVI			SLUČAJ	REŠENJE
   $d>R$	$r > R$	$d > R + 2r$	1.1.1	nema rešenja
   		$d = R + 2r$	1.1.2	jedno rešenje
   		$d < R + 2r$	1.3	dva spoljašnja kruga
   		$d = 2R - R$	1.3.1	dva spoljašnja i jedan
   				unutrašnji dodir
   		$d < 2R - R$	1.3.2	dva spoljašnja i dva
   				unutrašnja dodira
   	$r = R$	$d > 3R$	1.2.1	nema rešenja
   		$d = 3R$	1.2.2	jedno rešenje
   		$d < 3R$	1.2.3	dva spoljašnja kruga
   	$r < R$	$d > R + 2r$	1.3.1	nema rešenja
   		$d = R + 2r$	1.3.2	jedno rešenje
   		$d < R + 2r$	1.3.3	dva spoljašnja kruga
   $d=R$	$r > R$		2.1	jedan krug spoljašnjeg
   				dodira
   	$r = R$		2.2	jedan krug spoljašnjeg
   				dodira, drugi krug se
   				poklapa sa datim
   				krugom
   	$r < R$		2.3	jedan krug spoljašnjeg
   				dodira i jedan krug
   				unutrašnjeg dodira, koji
   				je obuhvaćen datim krugom

   $d < R$	$r > R$		3.1	slučaj je nemoguć
   	$r = R$		3.2	slučaj je nemoguć
   	$r < R$	$r > \frac{1}{2}R$	3.3.1	dva rešenja
   		$r= \frac{1}{2}R$	3.3.2	dva rešenja; izuzetan slučaj:
   		$d=0$	3.3.2.1	postoji beskonačno mnogo
   				rešenja
   	$r < \frac{1}{2}R$	$d > R - 2r$	3.3.3.1	dva rešenja
   		$d = R - 2r$	3.3.3.2	jedno rešenje
   		$d < R - 2r$	3.3.3.3	nema rešenja

   
   
   
   Ovi rezultati pokazuju da u relativno jednostavnom zadatku, kao što je ovaj, diskusija može biti prilično opširna, zbog većeg broja parametara. Takođe, iz diskusije ovog zadatka se vidi da i sama konstrukcija, koja kako u početku izgleda, rešava zadatak u potpunosti, može biti nedovoljna i mora biti proširena na razne slučajeve diskusije.