$\alpha$

Naći krug datog poluprečnika, koji prolazi kroz datu tačku i dodiruje datu pravu

Neka su dati: tačka A, prava $p_1$ i dužina r jednaka poluprečniku traženog kruga (sl. 25). Treba kroz tačku A povući krug poluprečnika r, koji dodiruje pravu $p_1$.

1. Analiza: Pretpostavimo da krug O dodiruje pravu $p_1$ i prolazi kroz tačku A. Ako tada povučemo pravu $p'$ paralelnu sa $p_1$, na odstojanju r od prave $p_1$ i to sa strane gde se nalazi tačka A, onda se može tvrditi da se tačka O - centar traženog kruga nalazi
   1. na pravoj $p'$
   2. na krugu poluprečnika r, sa centrom u tački A.
   
2. Konstrukcija: Povucimo na rastojanju od prave $p_1$, sa iste strane sa koje je tačka A, pravu $p'$ paralelnu pravoj $p_1$. Iz tačke A, kao centra, poluprečnikom r opišemo krug A. Neka on seče pravu $p'$ u tačkama O i $O_1$. Krugovi O i $O_1$ poluprečnika r odgovaraju uslovima zadatka.
3. Dokaz: Oba kruga prolaze kroz tačku A. Svaki od njih dodiruje pravu $p_1$, jer je rastojanje njihovih centara od te prave jednako poluprečniku kruga. Najzad, svaki ima za poluprečnik datu dužinu r.
4. Diskusija: Pri diskusiji ovog zadatka možemo pretpostaviti da je veličina r stalna, jer uvek možemo sliku crtati tako da veličina r ostane ista. Prema tome, dovoljno je menjati samo vrednost odstojanja tačke A od date prave $p_1$, koje možemo označiti sa h. Dovoljno je diskutovati samo pozitivne vrednosti h, jer negativnim vrednostima odgovara rešenje istog zadatka, samo sa položajem tačke A sa druge strane od prave $p_1$.
   - Ako je $h = 0$, tačka A leži na pravoj $p_1$. Centri O i $O_1$ se poklapaju i leže na normali iz tačke A na rastojanju r od prave $p_1$. Prema tome, postoji jedno rešenje.
   - Ako uzmemo u obzir i drugu stranu ravni od prave $p_1$, možemo tvrditi da u njoj možemo konstruisati dva kruga poluprečnika r, koji prolaze kroz tačku A i dodiruju datu pravu.
   - Ako je $0 < h < r$, tada postoje dva rešenja (sl. 25. a)
   
   - Ako je $h = r$, tačka A se nalazi na pravoj $p'$, pa postoje dva rešenja, pri čemu se krugovi O i $O_1$ dodiruju u tački A.
   - Ako je $r < h < 2r$, ponovo postoje dva preseka krugova O i $O_1$, ali uslovima zadatka odgovara samo gornja tačka A.
   - Ako je $h = 2r$, tačke O i $O_1$ ponovo se poklapaju. Traženi krug ima za prečnik dužinu normale, konstruisanu iz tačke A na pravu $p_1$. Dakle, postoji jedno rešenje.
   - Ako je $h > 2r$, tada krug iz centra A ne seče pravu p, tj. taj slučaj nije moguć.
   Rezultat diskusije može se predstaviti sledećom tabelom:
   • h = 0 - jedno rešenje, tj. dva sa raznih strana od date prave
   • $0 < h < r$ - dva rešenja; krugovi se seku
   • $h = r$ - dva rešenja; krugovi se dodiruju
   • $r < h < 2r$ - dva rešenja; krugovi se seku
   • $h = 2r$ - jedno rešenje
   • $h > 2r$ - ne postoji rešenje