Naći krug koji dodiruje tri data kruga

Ovaj klasičan zadatak o dodiru krugova zove se Apolonijev zadatak.
Primetimo da se ovaj zadatak može smatrati kao opšti zadatak, a ostale zadatke iz teorije dodira krugova možemo smatrati kao specijalne slučajeve ovog opšteg zadatka, kad se odgovarajući krug degeneriše u tačku ili u pravu, u zavisnosti od toga da li poluprečnik tog kruga teži ka nuli ili beskonačnosti.
Apolonijev zadatak je imao, kroz istoriju geometrije, niz različitih rešenja. Ovde navodimo Vietovo rešenje⁸.
Označimo poluprečnike datih krugova $O_1$, $O_2$, $O_3$ sa $R_1$, $R_2$, $R_3$ i pretpostavimo da je $R_1\geq R_2\geq R_3$. Prvo razmotrimo slučaj kada su uslovi jednakosti izostavljeni i tada je $R_3$ najmanji poluprečnik.

1. Analiza: Analizirajmo slučaj kada se tri data kruga ne seku.
   Iz centra kruga $O_1$ konstruišimo dva kruga: jedan $O_1'$ poluprečnika $R_1-R_3$ i drugi $O_1''$ poluprečnika $R_1+R_3$. Isto to uradimo iz centra $O_2$, tj. nacrtajmo krug $O_2'$ poluprečnika $R_2-R_3$ i $O_2''$ poluprečnika $R_2+R_3$. Sad uzmimo u obzir centar kruga $O_3$ koji označimo sa A i postavimo zadatke određivanja kruga koji prolazi kroz tačku A i dodiruje dva kruga u ovim kombinacijama:
   $O_1'$     i     $O_2'$
   
   
   $O_1'$     i     $O_2''$
   
   
   $O_1''$     i     $O_2'$
   
   
   $O_1''$     i     $O_2''$
   Svaki od tih zadataka spada u zadatak 8 (tačka i dva kruga). U opštem slučaju, takav zadatak može imati više rešenja, ali treba uzeti samo ono koje odgovara osnovnom postavljenom problemu.
   
   
   
   Slika 24.a pokazuje da takva dva kruga mogu biti: krug A koji dodiruje krugove $O_1'$ i $O_2'$ spolja i krug B koji obuhvata te krugove. Kada se krugu A smanji poluprečnik za $R_3$, onda će njemu koncentričan krug dodirivati spolja krugove $O_1''$ (to je veći krug sa centrom u $O_1'$), $O_2''$ (veći krug sa centrom u $O_2'$) i $O_3$. Ako se krugu B poveća poluprečnik za $R_3$, on će dodirivati spolja krugove $O_1''$, $O_2''$ i $O_3$.
   
   Na slici 24.b, na sličan način dobijamo: krug C koji dodiruje krug $O_1$ spolja, a krugove $O_2$ i $O_3$ svojom unutrašnjom stranom, i krug D koji dodiruje krugove $O_2$ i $O_3$ spolja i krug $O_1$ unutrašnjom stranom.
   
   
   Na slici 24.c imamo: krug E koji dodiruje krugove $O_2$ i $O_3$ spolja i krug $O_1$ unutra, i krug F koji dodiruje krug $O_2$ spolja i krugove $O_1$ i $O_3$ iznutra.
   Na slici 24.d imamo: krug G koji dodiruje sva tri kruga $O_1$, $O_2$ i $O_3$ spolja, i krug H koji dodiruje sva tri kruga iznutra.
   

   Prema tome, sve slučajeve možemo obuhvatiti sledećom tabelom:
   
   
   

   Pomoćni krugovi	Rešenja	Krugovi koje obuhvata traženi krug	Krug kroz tačku treba
   $O_1'$, $O_2'$	A	$O_3$	povećati
   $O_1'$, $O_2'$	B	$O_1$, $O_2$	smanjiti
   $O_1'$, $O_2''$	C	$O_2$, $O_3$	povećati
   $O_1'$, $O_2''$	D	$O_1$	smanjiti
   $O_1''$, $O_2'$	E	$O_2$	smanjiti
   $O_1''$, $O_2'$	F	$O_1$, $O_3$	povećati
   $O_1''$, $O_2''$	G	-	smanjiti
   $O_1''$, $O_2''$	H	$O_1$, $O_2$, $O_3$	povećati

   
   
   Izvršena analiza pokazuje da, u opštem slučaju, kad se dati krugovi ne seku, zadatak ima osam rešenja.




2. Konstrukcija: Iz izvršene analize zaključujemo da se ovaj problem se se može svesti na zadatak 8: naći krug koji dodiruje dva data kruga i prolazi kroz datu tačku. Ali, od četiri rešenja ovog zadatka, ovde se mogu koristiti samo dva.

3. Dokaz: Dokaz konstrukcije ovog zadatka neposredno se svodi na dokaz zadatka 8 i na zaključak da krug koncentričan sa nađenim pomoćnim krugom, koji prolazi kroz datu tačku i dodiruje dva pomoćna kruga, treba konstruisati poluprečnikom povećanim za $R_3$ ili umanjenim za tu istu dužinu, u zavisnosti od toga kakve je prirode dodir sa pomoćnim krugovima koncentričnim sa krugovima $O_1$ i $O_2$.

4. Diskusija: Diskusija ovog zadatka za sve moguće položaje i veličine datih krugova je vrlo opširna. Navešćemo samo dva specijalna slučaja: Prvi, kada dva kruga dodiruju jedan drugog, recimo spolja, a treći ima proizvoljan položaj. Od osam rešenja opšteg slučaja otpadaju dva slučaja, i to u zavisnosti od položaja trećeg kruga prema zajedničkoj tangenti krugova $O_1$ i $O_2$.
   Drugi, kada se sva tri kruga nalaze u spoljašnjem dodiru. Tada imamo samo dva rešenja: krugove G i H, spoljašnjeg i unutrašnjeg dodira.