13.

U dati petougao, sa jednakim stranama i jednakim uglovima, upisati krug.






Neka je dat petougao ABGDE sa jednakim stranama i sa jednakim uglovima. Treba u petougao ABGDE upisati krug.
Prepolovimo svaki od uglova BGD i GDE pravim linijama GZ i DZ. Iz tačke Z, u kojoj prave GZ i DZ seku jedna drugu, povucimo prave ZB, ZA, ZE. Kako je BG jednako GD, a GZ zajedničko, dve strane BG i GZ su jednake dvema stranama DG i GZ, a i ugao BGZ jednak uglu DGZ, biće i osnovica BZ jednaka osnovici DZ, trougao BGZ jednak trouglu DGZ, i ostali uglovi jednaki uglovima koji su naspram jednakih strana [I.4]. Prema tome je ugao GBZ jednak uglu GDZ. Kako je ugao GDE dvaput veći od ugla GDZ, a ugao GDE jednak uglu ABG, i ugao GDZ jednak uglu GBZ, biće i ugao GBA dvaput veći od ugla GBZ. Znači i ugao ABZ je jednak uglu ZBG, te prema tome i prava BZ polovi ugao ABG. Na sličan način se dokazuje da je svaki od uglova BAE i AED prepolovljen pravama ZA i ZE. Povucimo iz tačke Z prave ZH, ZQ, ZK, ZL, ZM normalne na prave AB, BG, GD, DE, EA. Kako je ugao QGZ jednak uglu KGZ, i pravi ugao ZQG jednak pravom uglu ZKG, trougli ZQG i ZKG imaju po dva ugla jednaka i po jednu stranu jednaku, naime zajedničku ZG, koja je naspram jednakih uglova. Zbog toga će oni imati i ostale strane jednake ostalim stranama [I.26]. Prema tome je normala ZQ jednaka normali ZK. Na sličan način se dokazuje da je svaka od pravih ZL, ZM, ZH jednaka svakoj od ZQ i ZK. Prema tome su pet pravih ZH, ZQ, ZK, ZL, ZM međusobno jednake. Znači krug opisan sa centrom u Z rastojanjem do jedne od tačaka H, Q, K, L, M, proći i kroz ostale tačke i dodirivati prave AB, BG, GD, DE, EA u tačkama H, Q, K, L, M, jer su uglovi u tim tačkama pravi. Zaista kad ih ne bi dodirivao, već sekao, onda bi prava povučena normalno na kraju prečnika nalazila u krugu, a dokazano je da je to besmisleno [III.16]. Prema tome krug nacrtan sa centrom u Z i sa rastojanjem do jedne od tačaka H, Q, K, L, M neće seći prave AB, BG, GD, DE, EA, već će ih dodirivati. Neka je nacrtan kao HQKLM.
Na ovaj način je u dati petougao sa jednakim stranama i jednakim uglovima upisan krug. A to je trebalo izvesti.