13.
U svakom oštrouglom trouglu kvadrat na strani spram oštrog ugla manji je od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju oštar ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom oštrog ugla, naime onom na koju je spuštena normala, i rastojanjem te normale od temena oštrog ugla.
Neka je ABG oštrougli trougao sa oštrim uglom kod tačke B i neka AD bude normala spuštena iz tačke A na stranu BG. Tvrdim da je kvadrat na AG manji od zbira kvadrata na GB i BA za dvostruki pravougaonik obuhvaćen dužima GB i BD.
Pošto je prava GB proizvoljno podeljena tačkom D, biće zbir kvadrata na GB i na BD jednak zbiru dvostrukog pravougaonika obuhvaćena dužima GB i BD i kvadrata na DG [II.7]. Neka se doda jednom i drugom zbiru kvadrat na DA, tada će kvadrati na GB, na BD, na DA biti jednaki dvostrukom pravougaoniku obuhvaćenom dužima GB i BD i kvadratima na AD i DG. Ali kvadrati na BD i DA jednaki su kvadratu na AB, jer je ugao kod tačke D prav [I.47]. Isto tako kvadrati na AD i DG jednaki su kvadratu na AG. Na taj način su kvadrati na GB i na BA jednaki kvadratu na AG i dvostrukom pravougaoniku obuhvaćenom dužima GB i DB. Prema tome biće kvadrat na AG za dvostruki pravougaonik obuhvaćen dužima GB i BD manji od zbira kvadrata na GB i na BA.
Na ovaj način, u svakom oštrouglom trouglu kvadrat na strani spram oštrog ugla manji je od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju oštar ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom oštrog ugla, naime onom na koju je spuštena normala i rastojanjem te normale od temena oštrog ugla. A to je trebalo dokazati.