12.

U svakom tupouglom trouglu kvadrat na strani spram tupog tugla je veći od zbira kvadrata na stranama što obrazuju tup ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen od jedne strane tupog ugla, naime one na čije produženje pada spuštena normala, i od rastojanja te normale od temena tupog ugla.

Neka je ABG tupougli trougao sa tupim uglom BAG i neka se povuče kroz tačku B normala BD na produženje GA. Tvrdim da je kvadrat na GB veći od zbira kvadrata na BA i na AG za dvostruki pravougaonik obuhvaćen dužima GA i AD.
Pošto je duž GD proizvoljno podeljena tačkom A, biće kvadrat na DG jednak kvadratima na GA i AD i dvostrukom pravougaoniku obuhvaćenu dužima GA i AD [II.4]. Neka se svakom od njih doda po kvadrat DB, tada su kvadrati na GD i DB jednaki kvadratima na GA, na AD, na DB i pravougaoniku obuhvaćenom dužima GA i AD. Međutim kvadrati na GD i DB jednaki su kvadratu na GB, jer je ugao kod tačke D prav [I.47]. Isto tako, kvadrati na AD i na DB jednaki su kvadratu na AB [I.47]. Stoga je kvadrat na GB jednak kvadratima na GA i na AB i dvostrukom pravougaoniku obuhvaćenom dužima GA, i AD. Prema tome kvadrat na GB je veći od zbira kvadrata na GA i na AB za dvostruki pravougaonik obuhvaćen dužima GA i AD.
Na ovaj način u svakom tupouglom trouglu kvadrat na strani spram tupog ugla je veći od zbira kvadrata na stranama što obrazuju tup ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen od jedne strane tupog ugla, naime one na čije produženje pada spuštena normala, i od rastojanja te normale od temena tupog ugla. A to je trebalo dokazati.