11.

Datu duž podeliti tako da pravougaonik obuhvaćen celom duži i jednim otsečkom bude jednak kvadratu na drugom otsečku.

Neka je AB data duž. Treba AB podeliti tako da pravougaonik obuhvaćen celom duži i jednim otsečkom bude jednak kvadratu na drugom otsečku.
Nacrta se kvadrat ABDG na AB [I.46], i prepolovi se AG tačkom E, povuče se EB, produži GA do Z, i odmeri se EZ jednako BE; nacrta se kvadrat ZQ na AZ, i produži se HQ do K. Tvrdim da je AB podeljeno tačkom Q tako da je pravougaonik obuhvaćen dužima AB i BQ jednak kvadratu na AQ.
Kako je duž AG preolovljena tačkom E, a prava AZ njeno produženje, pravouganik obuhvaćen dužima GZ i ZA zajedno sa kvadratom na AE jednak je kvadratu na EZ [II.6]. Ali EZ je jednako EB, zbog toga je pravougaonik obuhvaćen dužima GZ i ZA zajedno sa kvadratom na AE jednak kvadratu na EB. No kvadrat na EB jednak je kvadratima na BA i na AE, jer je ugao kod tačke A prav [I.47]. Na taj način pravougoanik od GZ i ZA zajedno sa kvadratom na AE jednak je kvadratima na BA i na AE. Ako se oduzme zajednički kvadrat na AE, onda je pravougaonik od GZ i ZA jednak kvadratu na AB. Kako je pravougaonik obuhvaćen dužima GZ i ZA pravougaonik ZK, jer je AZ jednako ZH, a kvadrat na AB je AD, biće pravougaonik ZK jednak kvadratu AD. Ako se odužme zajednički pravougaonik AK, ostatak ZQ biće jednak pravougaoniku QD. Kako je QD pravougaonik obuhvaćen dužima AB i BQ, jer je duž AB jednaka duži BD, a ZQ je kvadrat na AQ, biće pravougaonik obuhvaćen dužima AB i BQ jednak kvadratu na AQ.
Na ovaj način je data duž AB tako podeljena tačkom Q da je pravougaonik obuhvaćen dužima AB i BQ jednak kvadratu na QA. A to je trebalo izvesti.