10.

Ako se data duž prepolovi i produži za izvesnu duž, biće zbir kvadrata na celoj duži zajedno sa produženjem i kvadrata na produženju duži jednak dvostrukom zbiru kvadrata na polovini prve duži i kvadrata nacrtana na duži sastavljenoj od polovine date duži i produženja kao jednoj duži.

Neka je duž AB prepolovljena tačkom G i neka je BD njeno produženje. Tvrdim da je zbir kvadrata na AD i DB jednak dvostrukom zbiru kvadrata na AG i GD.
Povuče se kroz tačku G prava GE upravno na AB [I.ii] i jednaka svakoj duži AG, GB [I.3], i povuku se EA i EB; pa se povuku kroz E prava EZ paralelno AD i kroz D prava ZD paralelno GE [I.31]. Tada, pošto prava EZ seče dve paralelne prave EG i ZD, uglovi GEZ i EZD čine zajedno dva prava ugla [I.29], a dva ugla ZEB i EZD prema tome su manja od dva prava, a dve prave produžene od uglova, koji su manji od dva prava, seku se [I, Post. 5]; prema tome prave EB i ZD, produžene preko B i D, moraju se seći. Neka se produže i seku u tački H i neka se povuče AH. Sad, pošto je AG jednako GE, jednak je ugao EAG uglu AEG [I.5], a kako je ugao kod tačke G prav, biće svaki od uglova EAG i AEG jednak polovini pravog [I.32]. Iz istih razloga i svaki od uglova GEB i EBG jednak je polovini pravog; prema tome je ugao AEB prav. Dalje, pošto je ugao EBG jednak polovini pravog, biće polovina pravog i ugao DBH [I.15]. I ugao BDH biće prav, jer je jednak unutrašnjem naizmeničnom DGE [I.29]; pa prema tome je i ugao DHB jednak polovini pravog [I.32]; na taj način ugao DHB jednak je uglu DBH, a tada je i strana BD jednaka strani HD [I.6]. Dalje, pošto je ugao EHZ jednak polovini pravog, a ugao kod tačke Z jednak pravom uglu, jer je jednak suprotnom uglu kod tačke G [I.34], biće ugao ZEH jednak polovini pravog [I.32], pa prema tome je ugao EHZ jednak uglu ZEH, a tada je i strana HZ jednaka strani EZ [I.6]. Pošto je, dalje (EG jednako GA), kvadrat na EG jednak kvadratu na GA, biće kvadrati na EG i na GA jednaki dvostrukom kvadratu na GA. Međutim, kvadrati na EG i na GA jednaki su kvadratu na EA [I.47], pa prema tome kvadrat na EA jednak je dvostrukom kvadratu na AG [A. 1]. Zatim, kako je ZH jednako EZ, kvadrat na ZH jednak je kvadratu na ZE, biće stoga kvadrati na HZ i na ZE jednaki dvostukom kvadratu na EZ. Ali kvadrati na HZ i na ZE jednaki su kvadratu na EH [I.47], i prema tome kvadrat na EH jednak jedvostrukom kvadratu na EZ. Ali je EZ jednako GD [I.34], pa je stoga kvadrat na EH jednak dvostrukom kvadratu na GD. Ranije je dokazano da je kvadrat na EA jednak dvostukom kvadratu na AG. Stoga su kvadrati na AE i EH jednaki dvostukom zbiru kvadrata na AG i na GD. No zbir kvadrata na AE i EH jednak je kvadratu na AH [I.47]. Na taj način kvadrat na AH jednak je dvostrukom zbiru kvadrata na AG i na GD. Ali kvadrat na AH jednak je zbiru kvadrata na AD i na DH [I.47]. Prema tome kvadrati na AD i na DH jednaki su dvostukom zbiru kvadrata na AG i na GD. Ali DH je jednako DB, pa prema tome zbir kvadrata na AD i na DB jednak je dvostrurkom zbiru kvadrata na AG i GD.
Na ovaj način, ako se data duž prepolovi i produži za izvesnu duž biće zbir kvadrata na celoj duži zajedno sa produženjem i kvadrata na produženju duži jednak dvostrukom zbiru kvadrata na polovini prve duži i kvadrata nacrtana na duži sastavljenoj od polovini date duži i produženja kao jednoj duži. A to je trebalo dokazati.