Ako se data duž proizvoljno podeli na dva otsečka, biće zbir četvorostrukog pravougaonika obuhvaćena celom duži jednim otsečkom i kvadrata na drugom otsečku jednak kvadratu nacrtanom na duži sastavljenoj od date duži i prvog otsečka.

Neka je, naime, duž AB proizvoljno podeljena tačkom G. Tvrdim da je zbir četvorostrukog pravougaonika obuhvaćena dužima AB i BG i kvadrata na AG jednak kvadratu na AB i BG, kao jednoj duži.
Neka je prava BD produženje prave AB i neka je BD jednako GB. Zatim neka se nacrta na AD kvadrat AEZD i uz to nacrta dvostruka slika.
Pošto je GB jednako BD, a GB jednako HK i BD jednako KN, biće i HK jednako KN. Iz istih razloga je i pP jednako PO. A pošto je BG jednako BD, a HK jednako KN, biće i kvadrat GK jednak kvadratu KD, a kvadrat HP kvadratu PN [I.36]. Ali kvadrat GK jednak je kvadratu PN, pošto su to dopune paralelograma GO [I.43]; stoga je i kvadrat KD jednak kvadratu HP. Na taj način površine sva četiri kvadrata DK, GK, HP, PN jednake su među sobom i sve zajedno jednake četvorostrukom paralelogramu GK. Zatim, pošto je duž GB jednaka duži BD, a BD duži BK, tj. GH, i GB jednaka duži HK, tj. Hp, biće i duž GH jednaka duži Hp. I pošto je GH jednako Hp, i pP jednako PO, biće i pravougaonik AH jednak pravougaoniku Mp, a pL pravougaoniku PZ [I.36]. Ali pravougaonik Mp jednak je pravougaoniku pL, jer su dopune paralelograma ML [I.43], pa prema tome je pravougaonik AH jednak pravougaoniku PZ. Na taj način četiri pravougaonika AH, Mp, pL, PZ jednaki su među sobom, a sva četiri zajedno jednaki su četvorostrukom pravougaoniku AH. Ranije je pokazano da su četiri kvadrata GK, KD, HP, PN jednaki četvorostrukom kvadratu GK; na taj način osam paralelograma, koji obrazuju gnomon STU, sačinjavaju četvorostruki pravougaonik AK. A pošto je paralelogram AK obuhvaćen od AB i BD, jer je BK jednako BD, biće i četiri pravougaonika obuhvaćena od AB i BD, jednaka četvorostrukom pravougaoniku AK. Kako je pokazano da je četvorostruki pravougaonik AK jednak gnomonu STU, biće i četvorostruki pravougaonik od AB i BD jednak gnomonu STU. Ako se doda svakom od ovih XQ, koji je jednak kvadratu na AG, biće i četvorostuki pravougaonik obuhvaćen od AB i BD zajedno sa kvadratom na AG jednak gnomonu STU i kvadratu XQ. Ali gnomon STU sa kvadratom XQ zajedno sačinjavaju kvadrat AEZD na AD. Prema tome je četvorostruki pravougaonik od AB i BD zajedno sa kvadratom na AG jednak kvadratu na AD; ali BD je jednako BG. Prema tome je zbir četvorostrukog pravougaonika obuhvaćena dužima AB i BG i kvadrata na AG jednak kvadratu na AD tj. kvadratu nacrtanom na AB i BG kao jednoj duži.
Na ovaj način, ako se data duž proizvoljno podeli na dva otsečka, biće zbir četvorostrukog pravougaonika obuhvaćena celom duži i jednim otsečkom i kvadrata na drugom otsečku jednak kvadratu nacrtanom na duži sastavljenoj od date duži i prvog otsečka. A to je trebalo dokazati.