7.
Ako se data duž proizvoljno podeli na dva otsečka, onda je zbir kvadrata na celoj duži i na jednom od otsečaka jednak zbiru dvostrukog pravougaonika obuhvaćena celom duži i tim otsečkom i kvadrata na drugom otsečku.
Neka je duž AB proizvoljno podeljena tačkom G. Tvrdim da su kvadrati na AB i BG zajedno jednaki dvostrukom pravougaoniku obuhvaćenom dužima AB i BG i kvadratu na GA.
Neka se nacrta na AB kvadrat ADEB [I.46] i dopuni slika.
Kako je pravougaonik AH jednak pravougaoniku HE [I.43], biće, ako se svakom doda kvadrat GZ, celi pravougaonik AZ jednak celom pravougaoniku GE, i prema tome je zbir pravougaonika AZ i GE jednak dvostrukom pravougaoniku AZ. Ali pravougaonik AZ sa pravougaonikom GE čine zajedno gnomon KLM i kvadrat GZ; prema tome je gnomon KLM i kvadrat GZ dvostruki pravougaonik AZ. Ali taj dvostruki pravougaonik je u isto vreme i dvostruki pravougaonik od AB i BG, jer je BZ jednako BG. Na taj način gnomon KLM i kvadrat GZ zajedno jednaki su dvostrukom pravougaoniku od AB i BG. Ako se svakom od ovih doda DH, kvadrat na AG biće zbir gnomona i kvadrata BH i HD jednak zbiru dvostrukog pravougaonika obuhvaćena dužima AB i BG i kvadrata na AG. Na taj način su gnomon KLM i kvadrat BH i HD ceo kvadrat ADEB i kvadrat GZ, a to su kvadrati na AB i BG. Prema tome je zbir kvadrata na AB i na BG jednak zbiru dvostrukog pravougaonika obuhvaćena dužima AB i BG i kvadrata na AG.
Na ovaj način, ako ako se data duž proizvoljno podeli na dva otsečka, onda je zbir kvadrata na celoj duži i na jednom od otsečaka, jednak zbiru dvostrukog pravougaonika obuhvaćena celom duži i tim otsečkom i kvadrata na drugom otsečku. A to je trebalo dokazati.