6.
Ako se data duž prepolovi i produži za izvesnu duž, biće zbir pravougaonika obuhvaćena celom duži sa produženjem i tim produženjem i kvadrata na polovini date duži jednak kvadratu na duži sastavljenoj od polovine prve duži i dodate druge duži.
Neka je prava AB prepolovljena tačkom G i u njenom pravcu dodata duž BD. Tvrdim da je zbir pravougaonika obuhvaćena dužima AD i DB i kvadrata na GB jednak kvadratu na GD.
Neka se nacrta na GD kvadrat GEZD [I.46] i povuku: prava DE, kroz tačku B prava BH paralelna ma kojoj od pravih EG i DZ, kroz Q prava KM paralelno ma kojoj od pravih AB i EZ i još kroz tačku A prava AK paralelno ma kojoj od pravih GL i DM [I.31].
Pošto je AG i GB jednako, jednako je i AL i GQ [I.36]. Međutim pravougaonik GQ je jednak pravougaoniku QZ [I.43]. I na taj način je pravougaonik AL jednak pravougaoniku QZ. Ako svakome dodamo pravougaonik GM, biće ceo pravougaonik AM jednak gnomonu NXO. Međutim pravougaonik AM obuhvaćen je dužima AD i DB, jer je duž DM jednaka duži DB; prema tome je i gnomon NXO jednak pravougaoniku obuhvaćenom dužima AD i DB. Ako se svakom od ovih doda LH, koji je jednak kvadratu na GB, biće pravougaonik obuhvaćen dužima AD i DB sa kvadratom na GB jednak gnomonu NXO i kvadratu LH. No gnomon NXO sa kvadratom LH je ceo kvadrat GEZD na GD; na taj način je zbir pravougaonika obuhvaćena dužima AD i DB i kvadrata na GB jednak kvadratu na GD.
Na ovaj način, ako se data duž prepolovi i produži za izvesnu duž, biće zbir pravougaonika obuhvaćena celom duži sa produženjem i tim produženjem i kvadrata na polovini date duži jednak kvadratu na duži sastavljenoj od polovine prve duži i dodate druge duži. A to je trebalo dokazati.