5.
Ako se data duž podeli dvema tačkama i na jednake i na nejednake delove, biće zbir pravougaonika obuhvaćena nejednakim delovima cele duži i kvadrata na duži između deonih tačaka jednak kvadratu na polovini duži.
Neka se duž AB podeli na jednake delove tačkom G i na nejednake delove tačkom D. Tvrdim da je zbir pravougaonika obuhvaćena dužima AD i DB i kvadrata na GD jednak kvadratu na GB.
Neka se nacrta na GB kvadrat GEZB [I.46] i povuku: prava BE, kroz tačku D prava DH paralelno ma kojoj od pravih GE i BZ, kroz tačku Q prava KM paralelno ma kojoj od pravih AB i EZ i još kroz tečku A prava AK paralelno ma kojoj od pravih GL i BM [I.31]. Pošto je dopuna GQ jednaka dopuni QZ [I.43], biće, ako svakoj dodamo DM, cela površina GM jednaka celoj površini DZ. Ali pravougaonik GM jednak je pravougaoniku AL, jer je AG jednako GB [I.36], i na taj način pravougaonik AL jednak je pravougaoniku DZ. Ako svakom od njih dodamo pravougaonik GQ, biće ceo pravougaonik AQ jednak gnomonu MNX. Međutim pravougaonik AQ je obuhvaćen dužima AD i DB, jer je DQ jednako DB, pa prema tome je i gnomon MNX jednak pravougaoniku obuhvaćenom dužima AD i DB. Svakoj od tih površina dodajmo površinu LH, koja je jednaka kvadratu na GD. Na taj način, zbir gnomona MNX i kvadrata LH jednak je zbiru pravougaonika obuhvaćena dužima AD i DB i kvadrata na GD. Ali gnomon MNX i kvadrat LH zajedno sačinjavaju kvadrat GEZB na GB. Na taj način zbir pravougaonika obuhvaćena dužima AD i DB i kvadrata na GD jednak je kvadratu na GB.
Na ovaj način, ako se data duž podeli dvema tačkama i na jednake i na nejednake delove, biće zbir pravougaonika obuhvaćena nejednakim delovima cele duži i kvadrata na duži između deonih tačaka jednak kvadratu na polovini duži. A to je trebalo dokazati.