4.
Ako se data duž proizvoljno podeli, kvadrat na celoj duži jednak je zbiru kvadrata na otsečcima i dvostrukog pravougaonika obuhvaćena otsečcima.
Neka se duž AB proizvoljno podeli tačkom G. Tvrdim da je kvadrat na AB jednak zbiru kvadrata na AG i GB i dvostrukog pravougaonika obuhvaćena dužima AG i GB.
Neka se nacrta na AB kvadrat ADEB [I.46] i povuče BD, pa kroz G prava GZ paralelna ma kojoj od pravih AD i EB, a kroz H prava QK paralelna ma kojoj od pravih AB i DE [I.31]. Pošto je GZ paralelno AD i prava BD seče svaku od njih, biće spoljašnji ugao GHB jednak unutršnjem saglasnom uglu ADB [I.29]. Ali ugao ADB jednak je uglu ABD jer je strana BA jednaka AD [I.5]; dakle ugao GHB jednak je HBG pa prema tome strana BG jednaka je strani GH [I.6]; međutim GB je jednako HK i GH jednako KB [I.34]; dakle GHKB je jednakostran četvorougao. Tvrdim, sem toga, da je on pravougli; pošto je GH paralelno BK (a svaku od njih seče prava GB), to zbir uglova KBG i HGB iznosi dva prava ugla [I.29]. Ali KBG je prav ugao, pa je i BGH prav; na taj način su unutrašnji saglasni uglovi GHK i HKB pravi [I.34]. Prema tome je GHKB pravougli četvorougao, a i jednakostran, dakle on je kvadrat i to na GB. Iz istih razloga i QZ je kvadrat i to na QH, a to znači i na AG [I.34]; dakle QZ i KG su kvadrati na AG odnosno na GB. Zatim, pošto je pravougaonik AH jednak pravougaoniku HE, a AH je pravougaonik obuhvaćen dužima AG i GB, jer je HG jednako GB, biće i HE jednak pravougaoniku obuhvaćenom dužina AG i GB. Prema tome su AH i HE zajedno jednaki dvostrukom pravougaoniku od AG i GB. A pri tome su QZ i GK kvadrati na AG odnosno na GB. Na taj način četiri pravougaonika QZ, GK, AH, HE jednaki su kvadratima na AG i GB i dvostrukom pravougaoniku obuhvaćenom dužima AG i GB. Ali QZ, GK, AH, HE sačinjavaju ceo ADEB, kvadrat na AB. Prema tome je kvadrat na AB jednak zbiru kvadrata na AG i GB i dvostrukog pravougaonika obuhvaćena dužima AG i GB.
Na ovaj način, ako se data duž proizvoljno podeli, kvadrat na celoj duži jednak je zbiru kvadrata na otsečcima i dvostrukog pravougaonika obuhvaćena otsečcima. A to je trebalo dokazati.