§43

Sada ćemo površinu pravolinijskog trougla u sistemu $S$ izraziti zbirom njegovih uglova.

Ako $ab$ bude raslo u beskonačnost, biće (§ 42) $\bigtriangleup{}abc:(R-u-v)$ konstantno. Ali kako $\bigtriangleup{}abc\doteq{}bacn$ (§ 32, V) i $R-u-v=z$ (§ 1), to je

$bacn=\bigtriangleup{}abc:(R-u-v)=bac'n':z'$.

Dalje je očevidno $bdcn:bd'c'n'=z:z'=tgz:tgz'$. Ali za $y'=0$ imamo $\frac{bd'c'n'}{bac'n'}=1$ a tako isto i $\frac{tgz'}{z'}=1$. Prema tome je: $bdcn:bacn=tgz:z$.

Kako smo našli da je(§ 32)

$bdcn=ri=i^{2}tgz$, to je $bacn=zi^{2}$.

Za svaki trougao, čiji je $z$ komplement zbira uglova do $2R$ i koji će ubuduće biti označen sa $\bigtriangleup{}$, biće prema tome $\bigtriangleup{}=zi^{2}$.

Odavde se lako uviđa da će, ako je $or \mid\mid\mid am$ i $ro \mid\mid\mid ab$, površina obuhvaćena od pravih $\overline{or}$, $\overline {st}$, $\overline{bc}$ (koja je očevidno apsolutna granica za površine pravolinijskih trouglova koji u beskonačnost rastu, ili granica od $\bigtriangleup{}$ za $z\doteq{}2R$) biti $=\pi{}i^{2}=\bigodot{}$ i u $F$.

Ako ovu graničnu figuru označimo sa $\square$, biće dalje (po §-u 30)

$\pi{}r^{2}=tg^{2}z\cdot{} \square{} =\bigodot{}$ u $F$ (§ 21) $=\bigodot{}s$ (po §-u32, VI),

ako se tetiva dc označi sa $s$.

Ako se sada dati poluprečnik $s$ kruga u ravni (ili $L$-linijski poluprečnik kruga u $F$) upravnom prepolovi, zatim (po §-u 34) konstruiše $bd \mid\mid\mid =^=cn$, spusti upravna ca na $db$ i podigne upravna $cm$ na $ca$, dobiće se ugao $z$. Odavde da se (po §-u 37) geometrijski odrediti $tg^{2}z$, pošto se za jedinicu uzme proizvoljno jedan $L$-linijski poluprečnik, pomoću dve uniformne linije iste krive (koje se, ako su date samo njihove krajnje tačke, pošto se konstruišu ose, mogu uzajamno meriti kao prave linije i u ovom pogledu smatrati za identične pravim linijama).

Dalje da se na sledeći nacin konstruisati četvorougao, naprimer pravilni, koji je $=\square{}$. Neka je

$abc = R$, $bac=\frac{1}{2}R$, $acb=\frac{1}{4}R$ i $bc=x$;

tada se da $X$ (po §-u 31, II) izraziti samim kvadratnim korenima i (po §-u 37) konstruisati; a pošto je dato $X$, može se (po §-u 38, ili i 29 i 35) odrediti i samo $x$. A osmostruki $\bigtriangleup{}abc$ očevidno da je $=\square$.

Prema tome na ovaj način krug u ravni poluprečnika $s$ kvadriran je geometrijski pomoću pravolinijske figure i uniformnih linija iste vrste (koje su, upoređene međusobno, ekvivalentne sa pravim linijama); tako isto je i krug na površini $F$ komplanaran na isti način. Ili je dakle istinita XI-a Euklidova aksioma ili je moguća geometrijska kvadratura kruga; iako ostaje nepoznato koja od ove dve alternative odgovara stvarnosti.

Kadgod je $tg^{2}z$ ili ceo broj ili racionalan razlomak čiji je imenitelj (doveden na najprostiji oblik) ili prost broj oblika $2^{m}+1$ (gde spada i $2=2^{0}+1$) ili proizvod iz proizvoljno mnogo prostih brojeva ove vrste, od kojih se (sa izuzetkom broja 2, koji se jedini može javiti proizvoljno mnogo puta) svaki javlja samo jedanput kao faktor, tada je moguće, na osnovu teorije poligona slavnog Gausa (ovog najveličanstvenijeg pronalaska našeg i svih vremena), konstruisati jednu pravolinijsku figuru (i to samo za rečene vrednosti od $z$) koja će biti ravna $tg^{2}z\cdot{}\square{}=\bigodot{}s$. Jer podela $\square$-a zahteva (pošto se teorema §-a 42 da lako proširiti na makakve poligone) očevidno podelu ugla $2R$, koju je (što se može pokazati) moguće geometrijski izvesti samo pod rečenim uslovima. U svim takvim slučajevima ono što je napred rečeno lako dovodi do cilja. I svaka pravolinijska figura da se geometrijski pretvoriti u pravilni poligon od $n$ strana, ako $n$ ima Gausov oblik.

Još bi ostalo (da bi se predmet potpuno iscrpeo) da se dokaže da je moguće (bez ikakve pretpostavke) odlučiti, da li sistem $\Sigma{}$ ili jedan (i koji) od sistema $S$ stvarno postoji. Ali to ćemo ostaviti za drugu zgodniju priliku.