§42

Ako se komplement zbira uglova do $2R$ u trouglu $abc$ označi sa $u$, a u trouglu $def$ sa $v$, biće $\bigtriangleup{}abc:\bigtriangleup{}def=u:v$.

Jer ako se svaki od trouglova $acg$, $gch$, $hcb$, $dfk$, $kfe$ stavi $=p$, i $\bigtriangleup{}abc=mp$, $\bigtriangleup{}def=np$, i ako je $s$ zbir uglova svakog od trouglova koji je $=p$, biće očevidno:

$2R-u=ms-(m-l)2R=2R-m(2R-s)$ i

$u=m(2R-s)$, kao i $v=n(2R-s)$.

Prema tome je

$\bigtriangleup{}abc:\bigtriangleup{}def=m:n=u:v.$

Lako se uviđa da se stav može proširiti i na slučaj kad su trougli $abc$, $def$ inkomenzurabilni.

Na isti način se dokazuje, da se trougli na površini kugle odnose kao ekscesi zbira njihovih uglova nad $2R$. Ako su dva ugla sfernog trougla pravi, treći $z$ biće rečeni eksces; ali ovaj je trougao (ako se obim najvećeg kruga označi sa $p$) očevidno $=\frac{zp^{2}}{4\pi{}^{2}}$ (§ 32, VI); prema tome je svaki trougao čiji je eksces $=z$, $=\frac{zp^{2}}{4\pi{}^{2}}$.