§41

Trougli jednake površine $abc$, $def$ imaju jednak zbir uglova.

Jer neka $mn$ polovi $ac$ i $bc$ i neka $pq$ polovi $df$ i $de$, i neka su $rs \parallel mn$, i $to \parallel pq$. Upravna $ag$ na $rs$ ili će biti jednaka sa upravnom $dh$ na $to$, ili neće biti jednaka: $dh$ biće napr. veća. U svakom od ova dva slučaja $\bigcirc df$ opisana iz centra $a$ imaće sa $\overrightarrow {gs}$ zajedničku izvesnu tačku $k$ i biće (§ 39)

$\triangle abk=\triangle abc=\triangle def$.

Ali kako (po §-u 40) trougao $abk$ ima isti zbir uglova kao i $\triangle def$ i (po §-u 39) $\triangle abc$, to će i trougli $abc$, $def$ imati isti zbir uglova.

U sistemu $S$ da se teorema i obrnuti. Jer neka trougli $abc$, $def$ imaju isti zbir uglova i neka je $\triangle bal = \triangle def$. Tada će (na osnovu prethodnoga) ova dva trougla, pa prema tome i trougli $abc$, $abl$, imati isti zbir uglova, odakle očevidno sleduje

$bcl+blc+cbl=2R$.

Ali (§ 31) suma uglova u svakom trouglu iznosi, u sistemu $S$, $< 2R$. Tačka $l$ pada dakle ujedno sa tačkom $c$.