§40

Jednake površine trougli $abc$, $abd$ (odsada pravolinijski), koji imaju jednu stranu jednaku, imaju jednake sume uglova.

Jer neka $mn$ prolazi kroz tačke koje polove $ac$ i $bc$ i neka je $pq$ (koja prolazi kroz tačku $c$) $\parallel mn$; tada će $d$ padati u $pq$.

Jer ako poluprava $\overrightarrow{bd}$ bude sekla $\overline {mn}$ u tačci $e$, a (§ 39) $\overline {pq}$ na odstojanju $ef=eb$, biće $\triangle abc = \triangle abf$, kao i $\triangle abd= \triangle abf$, sa čega će $d$ pasti ujedno sa $f$.

Ako pak $\overrightarrow{bd}$ ne bude seklo $\overline {mn}$, neka je $c$ tačka u kojoj upravna koja polovi $ab$ seče $\overline {pq}$, i $gs=ht$, tako da $\overline {st}$ produženo $\overline {bd}$ seče u izvesnoj tačci $k$ (da je ovo moguće uviđa se na sličan način kao u §-u 4). Neka je dalje $sl=sa$, $lo \parallel st$ i $o$ presek linija $\overline {bk}$ i $\overline {lo}$. Tada bi bio ($S$ 39) $\triangle abl = \triangle abo$ i $\triangle abc > \triangle abd$ (protivno pretpostavci).