§32

Još nam ostaje da pokažemo način rešavanja problema u sistemu $S$, a zatim (pošto je to pokazano na lakšim primerima) reći ćemo i šta je sve ova teorija u stanju da učini.

I. Neka je $ab$ linija u ravni i $ y=f(x) $ njena jednačina (u pravouglim koordinatama), neka je $dz$ makakav priraštaj $z$-a, i neka je $dx$, $dy$, $du$ označavaju odgovarajuće priraštaje $x$-a, $y$-a i površine $u$ koja odgovara $z$-u. Neka je dalje $bh \parallel cf$, neka se $\frac{bh}{dx}$ izrazi (na osnovu §§-a 31 i 27) u $y$-u i neka se potraži granična vrednost od $\frac{dy}{dx}$ kada $dx$ teži ka nuli (što se uostalom uvek podrazumeva kada se jedna takva granična vrednost određuje). Tada će postati poznata i granična vrednost od $\frac{dy}{bh}$ kao i tangenta ugla $hbg$; tako isto biće (pošto ugao $hbc$ očevidno nije $>$ ni $<$ dakle je $= R$) tangenta u tačci $b$ na liniju $bg$ određena u $y$-u.

II. Može se dokazati da je

$\frac{dz^2}{dy^2+bh^2} \doteq 1 $.

Odavde se izvodi granična vrednost od $\frac{dz}{dx}$, a zatim integracijom $z$ (izraženo u $x$-u).

Kad je data makakva određena linija njena jednačina da se naći u sistemu $S$, npr. jednačina $L$-linije.

Jer neka je $\overrightarrow{am}$ osa od $L$; tada će svaka poluprava $\overrightarrow {cb}$, koja polazi sa $\overrightarrow{am}$, seći $L$ (pošto po $S$-u 19 svaka prava povučena iz $a$ pored $\overline{am}$ seče $L$). Ali kako je (ako je $\overrightarrow{bn}$ osa)

$ X =\frac{1}{sin cbn} $ ($S$ 28),

i
$ Y =cotg\frac{1}{2}{cbn} $ ($S$ 29),

to je
$ Y =X + \sqrt{X^2-1}$

ili
$ e^{\frac{y}{i}} = e^{\frac{x}{i}} + \sqrt{e^{\frac{2x}{i}}-1}$

tražena jednacina. Odavde sleduje
$ \frac{dy}{dx} \doteq X \cdot (X^2-1)^{\frac{1}{2}}$

i
$ \; \frac{bh}{dx} \doteq 1:sincbn=X$;

prema tome i
$ \frac{dy}{bh} \doteq (X^2-1)^{-\frac{1}{2}}$

$ 1+\frac{dy^2}{bh^2} \doteq X^3 \cdot (X^2-1)^{-1}$

$ \quad \frac{dz^2}{bh^2} \doteq X^2(X^2-1)^{-1}$

$ \quad \frac{dz}{bh} \doteq X(X^2-1)^{-\frac{1}{2}}$,

i
$ \quad \frac{dz}{dx} \doteq X^2(X^2-1)^{-\frac{1}{2}}$,

odakle se integracijom nalazi (kao u $S$-u 30)
$ z=i(X^2-1)^\frac{1}{2}=i\cdot cotg \ cbn $.

III. Očevidno da je

$ \frac{du}{dx} \doteq \frac{hfcbh}{dx}$,

koji izraz (ako nije zavisan od $y$-a) ima najpre da se izrazi u $y$-u; pa zatim da se izvede $u$ integracijom.

Ako je $ab=p$, $ac=q$, $cd=r$ i $cabdc=s$, moći će se (kao pod II) pokazati da je

$ \frac{ds}{dq} \doteq r$,

koje je
$ = \frac{1}{2} p (e^{\frac{q}{i}}+ e^{-\frac{q}{i}})$,

odakle integracijom sleduje $ s=\frac{1}{2} p \cdot i \cdot(e^{\frac{q}{i}}- e^{-\frac{q}{i}})$.

Do ovog rezultata može se doći i bez integraljenja.

Ako su (na pokazani način) date npr. jednačina kruga (po §-u 31. III), prave linije (po §-u 31. II), jednog konusnog preseka, moći će se odrediti i površine ograničene ovim linijama.

Lako se da uvideti, da će se (kriva) površina t, koja je (na odstojanju $q$) $\parallel$ sa jednom ravnom figurom $p$, odnositi prema ovoj figuri kao druge potencije homologih linija ili kao

$ \frac{1}{4}(e^{\frac{q}{i}}+ e^{-\frac{q}{i}})^2 : 1 $.

Dalje lako se da uvideti da će izračunavanje zapremine, izvodeno na isti način, zahtevati dve integracije (kao što se i sam diferencijal ovde može da odredi samo integraljenjem). I da se pre svega ima da odredi zapremna tela ograničenog površinama $p$ i $t$ i skupom svih upravnih na $p$, koje spajaju obime od $p$ i $t$. Zapreminu njegovu nalazimo (kako integraljenjem tako i bez integraljenja) da je

$=\frac{1}{8}pi(e^\frac{2q}{i}-e^\frac{-2q}{i})+\frac{1}{2}pq$.

Tako isto daju se u sistemu $S$ odrediti i površine tela, kao i krivine, evolute, i evolvente makakvih linija i t.d. Što se tiče krivine, ona je u sistemu $S$ ili krivina same $L$-linije, ili se da odrediti poluprečnikom kruga, ili odstojanjem jedne prave od krive koja je $\parallel$ sa ovom pravom. Kao što se lako na osnovu ranije rečenog da pokazati, osim $L$-linije, kružnih linija i krivih koje su $\parallel$ sa pravom, nema u sistemu $S$ nikakvih drugih uniformnih linija.

IV. Za krug sleduje (kao pod III)

$ \frac {d \bigodot x}{dx} \doteq \bigcirc x $,

odakle se (po $S$-u 30) integraljenjem dobija
$ \bigodot x = \pi i^2 (e^\frac{x}{i}-2 + e^{-\frac{x}{i}}) $.

V. Za površinu $cabdc=u$ (ogranicenu $L$-linijom $ab=r$, ovoj $\parallel$-oj $cd=y$ i pravim linijama $ac$, $bd=x$) biće $\frac{du}{dx} \doteq y$ i (§ 24) $y=re-\frac{x}{i}$ odakle integraljenjem sleduje

$u=ri(1-e^{-\frac{x}{i}})$.

Ako $x$ postane beskonačno biće u $S$-sistemu $e^{-\frac{x}{i}} \doteq 0$ i $u \doteq ri$. U sledećem podrazumevaćemo pod ovom graničnom vrednošću veličinu figure $mabn$.

Na sličan način naći ćemo, ako je $p$ jedna figura na površini $F$, da je prostor ograničen od $p$ i skupa osa povučenih iz tačaka koje se nalaze na obimu figure $p$, ravan $\frac{1}{2}pi$.

VI. Neka je $2u$ ugao u središtu loptine kalote $z$, neka je $p$ periferija najvećeg kruga, i luk $fs$ (ugla $u$)$=x$ ; tada će biti (§ 25)

$1:sinu=p: \bigcirc bc$,

a odatle $\bigcirc bc=p sin u$.

Međutim je $x=\frac{pu}{2\pi}$ i $ dx=\frac{pdu}{2\pi}$.

Dalje je $ \frac{dz}{dx} \doteq \bigcirc bc$, dakle $\frac{dz}{du} \doteq \frac{p^2}{2\pi}sinu$, odakle (integracijom) sleduje da je:

$z=\frac{sinvers u}{2\pi}p^2$.

Zamislimo površinu $F$ u kojoj se nalazi periferija $p$ (koja prolazi kroz središte $f$ loptine kalote); zamislimo kroz $af$ i $ac$ ravni $\overline {fem}$, $\overline {cem}$ koje će biti upravne na $F$ i seći je po $feg$ i $ce$; i posmotrimo $L$-liniju $cf$. Tada će biti (§ 20) $cef=u$ i (§ 21) $\frac{fd}{p}=\frac{sinversu}{2\pi}$, prema tome $z=fd \cdot p$. Ali kako je (§ 21) $p=\pi \cdot fdg$, to je $z=\pi \cdot p \cdot fg$. Kako je dalje ($S$ 21) $fd \cdot fdg=fc \cdot fc$, to je $z=\pi \cdot fc \cdot fc=\bigcirc fc$ u $F$.

Neka je sada $bj=cj=r$, pa će biti (§ 30)

$ 2r=i(Y-Y^{-1})$,

prema tome (§ 21)
$ \bigcirc 2r $ (u $F$) $=\pi i^2 (Y-Y^{-1})^2 $.

Tako isto je (IV)
$ \bigcirc 2y = \pi i^2 (Y^2-2+Y^{-2}) $,

dakle je $\bigodot 2r$ (u $F$) $=\bigodot 2y$, pa prema tome je površina loptine kalote $z$ ravna površini kruga čiji je poluprecnik tetiva $fc$.

Odavde sleduje da je površina cele lopte $=\bigodot fg=fdg \cdot p= \frac{p^2}{\pi}$, da se dakle površine lopti odnose kao kvadrati periferija njihovih najvećih krugova.

VII. Na sličan način nalazi se, da je zapremina kugle u sistemu $S$

$ =\frac{1}{2}\pi i^3(X^2-X^{-2})-2\pi i^2 x $,

da je površina koja postaje obrtanjem linije $cd$ oko $ab$
$ =\frac{1}{2}\pi ip(Q^2-Q^{-2})$,

i telo opisano od $cabdc$
$ =\frac{1}{4}\pi i^2p(Q-Q^{-1})$.

Kako se pak svi oni rezultati koji su počev od IV dosada dobiveni mogu izvesti i bez integraljenja, to se ovde zarad kratkoće izostavlja.

Može se dokazati, da je granična vrednost svakog izraza koji sadrži pisme $i$ (i koji je prema tome zasnovan na hipotezi da postoji $i$), kada $i$ postane beskonačno, jedan izraz koji izrazava vrednost u sistemu $\Sigma$ (t.j. u hipotezi da ne postoji $i$), osim ako jednačine ne postaju identične. Ali ne sme se pomisliti, da se sam sistem može da menja (jer je on po sebi i u sebi određen), već samo hipoteza, koja se sukcesivno sve dotle može menjati dokle se ne dođe do kakvog apsurduma. Pretpostavljajući da u takvome izrazu pisme $i$, u slučaju da postoji sistem $S$, označava onu jedinstvenu količinu za koju je $J=e$, u slučaju da postoji $\Sigma$ postoji uzeće rečena granična vrednost mesto datog izraza. I očevidno je, da svi izrazi koji proizilaze iz hipoteze da sistem $S$ stvarno postoji (u ovom smislu) vaze apsolutno, pa i onda kada je sasvim nepoznato da li sistem $\Sigma$ ili taj sistem ne postoji.

Tako npr. iz izraza dobivenog u $S$ 30 lako se (kako pomoću diferencijaljenja tako i bez njega) nalazi poznata vrednost u sistemu $\Sigma$, naime $\bigcirc x = 2\pi x$; iz I (§ 31), pošto se izvedu potrebne transformacije, sleduje jednačina

$1:sin \alpha=c:a$;

iz II pak
$\frac{cos \alpha}{cos \beta}=1$

i, prema tome,
$ \alpha + \beta =R$;

prva jednačina u III postaje identična, pa prema tome važi i u sistemu $\Sigma$ iako u njemu ništa ne odreduje; iz druge pak sleduje da je $c^2=a^2+b^2$.

Sve su ovo poznate osnovne jednačine ravne trigonometrije u sistemu $\Sigma$.

Dalje se nalazi (iz §-a 32) za površinu i zapreminu u III da su obe $=pq$; iz IV sleduje da je $\bigcirc x=\pi x^2$; iz VII za sferu poluprečnika $x$ da je $=\frac{4}{3}\pi x^3$.

Teoreme koje se nalaze na kraju odeljka VI takođe su bezuslovno istinite.