§31

Za trigonometrijsko rešavanje svih pravouglih pravolinijskih trouglova (čime je omogućeno rešavanje svih trouglova) u sistemu $S$ dovoljne su tri jednačine, naime (označivši sa $a$, $b$ katete, sa $c$ hipotenuzu, a sa $\alpha$ i $\beta$ uglove naspram kateta) jedna jednačina koja izrazava odnos prvo između $a$, $c$, $\alpha$, drugo između $a$, $\alpha$, $\beta$ i treće između $a$, $b$, $c$. Iz ove ostale tri sleduju eliminacijom.

I. Iz §§-a 25 i 30 sleduje:
1 : $sin \alpha = (C-C^{-1}) : (A-A^{-1}) = (e^{\frac{c}{i}}-e^{-\frac{c}{i}}) : (e^{\frac{a}{i}}-e^{-\frac{a}{i}})$, (jednačina za $a$, $c$, $\alpha$).

II. Iz §-a 27 sleduje ( ako je $ \beta m \mid\mid\mid \gamma n $)

$ cos \alpha : sin \beta = 1: sin u $;

kako je pak po §-u 29-om
1: $sin u = \frac{1}{2} (A+A^{-1})$.

to je $ cos \alpha : cos \beta =\frac{1}{2}(A+A^{-1}) = \frac{1}{2} {e^{\frac{a}{i}}+e^{-\frac{a}{i}}}$, (jednačina za $\alpha$, $\beta$, $a$)

III. Ako je $\alpha\alpha' \begin{picture}(13.5,8.5) \put(2.5,0){\line(6,0){8.5}} \put(2.5,0){\line(0,6){8.5}} \end{picture} \beta\alpha\gamma$, i ako su $\beta\beta'$ i $ \gamma\gamma' \parallel \alpha\alpha'$, (§ 27), i ako je $\beta\alpha\gamma' \begin{picture}(13.5,8.5) \put(2.5,0){\line(6,0){8.5}} \put(2.5,0){\line(0,6){8.5}} \end{picture} \alpha\alpha' $ biće očevidno (kao i u §-u 27)

$\frac{\beta\beta'}{\gamma\gamma'}=\frac{1}{sin u}=\frac{1}{2}(A+A^{-1})$,

$\frac{\gamma\gamma'}{\alpha\alpha'}=\frac{1}{2}(B+B^{-1})$,

$\frac{\beta\beta'}{\alpha\alpha'}=\frac{1}{2}(C+C^{-1})$.

Prema tome je:

$\frac{1}{2}(C+C^{-1})=\frac{1}{2}(B+B^{-1})= \frac{1}{2}(A+A^{-1})$,

ili $e^{\frac{c}{i}}+ e^{-\frac{c}{i}}= \frac{1}{2}(e^{\frac{a}{i}}+e^{-\frac{a}{i}}) (e^{\frac{b}{i}}+e^{-\frac{b}{i}})$ (jednačina za $a$, $b$, $c$).

Ako je $ \gamma\alpha\delta=R $ i $ \beta\delta=\alpha\delta$, biće $\bigcirc c : \bigcirc a=1:sin \alpha$ i $\bigcirc c : \bigcirc (d=\beta\delta)=1:cos\alpha$ dakle i (označavajući sa $\bigcirc x^2$, za ma koju vrednost od $x$, produkt $\bigcirc x \cdot \bigcirc x$) $\bigcirc a^2 + \bigcirc d^2=\bigcirc c^2$.

Ali kako je ( po §-u 27 i II )

$\bigcirc d = \bigcirc b \cdot \frac{1}{2}(A+A^{-1})$,

to je
$ (e^{\frac{c}{i}}- e^{-\frac{c}{i}})^2 = \frac{1}{4} (e^{\frac{a}{i}}+ e^{-\fra... ... (e^{\frac{b}{i}}- e^{-\frac{b}{i}})^2 + (e^{\frac{a}{i}}- e^{-\frac{a}{i}})^2 $,

a ovo je druga jednačina za $a$, $b$, $c$ (čiji se drugi član može lako dovesti na jedan simetričan i invariabilan oblik).

Na posletku iz

$\frac{cos\alpha}{sin\beta}=\frac{1}{2}(A+A^{-1}) $,

$ \frac{cos\beta}{sin\alpha}=\frac{1}{2}(B+B^{-1}) $

sleduje (prema III)
$ cotg\alpha \cdot cotg\beta =\frac{1}{2} (e^{\frac{c}{i}}- e^{-\frac{c}{i}}) $ (jednačina za $\alpha$, $\beta$, $c$).