§30

Lako se (prema §-u 25) da uvideti, da rešenje problema ravne Trigonometrije u sistemu $S$ zahteva izražavanje periferije kruga pomoću poluprečnika. A ovo se može postići reaktifikacijom $L$-linije.

Neka su $ab$, $cm$ i $cm'$ upravne na $\overrightarrow{ac}$, i $b$ ma koja tačka poluprave $\overrightarrow{ab}$. Tada će biti (§ 25): $\sin u : \sin v = \bigcirc p : \bigcirc y$ i $\sin u' : \sin v' = \bigcirc p : \bigcirc y'$; dakle: $\frac{\sin u}{\sin v}\bigcirc y = \frac{\sin u'}{\sin v'}\bigcirc y'$.

Ali kako je po (§-u 27) $\sin v : \sin v'$ = $\cos u : \cos u'$, to će biti:

$\frac{\sin u}{\cos u}\bigcirc y = \frac{\sin u'}{\cos u'}\bigcirc y'$

ili $\bigcirc y : \bigcirc y'$ = $\tan u' : \tan u$ = $\tan w : \tan w'$.

Neka su dalje $cn \mid\mid\mid ab$, $c'n' \mid\mid\mid ab$ i $cd$, $c'd'$ $L$-linije upravne na $\overrightarrow{ab}$. Tada će biti (§ 21) i $\bigcirc y : \bigcirc y' = r : r'$, dakle biće $r : r' = \tan w : \tan w'$.

Neka sada raste $p$ počinjući od $a$ do u beskonačnost; tada će $w \doteq z$ i $w' \doteq z'$, sa čega će biti $r : r' = \tan z : \tan z'$.

Označimo konstantni odnos $r : \tan z$ (koji je nezavisan od $r$) sa $i$. Ako je $y \doteq 0$, biće $\frac{r}{y} = \frac{i\tan z}{y}\doteq 1$, i prema tome $\frac{y}{\tan z}\doteq i$.

Iz §-a 29 sleduje: $\tan z = \frac{1}{2} (Y-Y^{-1})$.

Prema tome $\frac{2y}{Y-Y^{-1}}\doteq i$ ili $\frac{2yJ^{\frac{y}{i}}}{J^{\frac{2y}{i-1}}}\doteq i$.

Poznato je pak da je granična vrednost ovog izraza (za $y \doteq 0$) $\frac{i}{\log J}$ prema tome je $\frac{i}{\log J}=i$ i $J=e=2.7182818...$, poznati broj koji se i ovde na tako neobičan način pojavljuje. Ako, dakle, od sada $i$ bude značilo onu pravu za koju je $J=e$, biće $r = i \tan z$. Kako je pak (§ 21) $\bigcirc y = 2\pi r$, to će biti: $\bigcirc y = 2\pi i \tan z $= $\pi i (Y-Y^{-1}) $= $ \pi i(e^{\frac{y}{i}}-e^{-\frac{y}{i}})$= $\frac{\pi y}{\log Y}(Y-Y^{-1})$ po §-u 24.