§27

Ako su $ac$ i $bd$ upravne na $ab$ i ako se $cab$ pomera duž $\overline{ab}$, biće (označavujući putanju tačke $c$ sa $cd$) $cd:ab=\sin u:\sin v$.

Jer neka je $de \begin{picture}(13.5,8.5) \put(2.5,0){\line(6,0){8.5}} \put(2.5,0){\line(0,6){8.5}} \end{picture} ca$; u trouglima $ade$, $adb$ biće (po §-u 25):

$\bigcirc ed:\bigcirc ad:\bigcirc ab=\sin u:1:\sin v$.

Ako se $bacd$ bude obrtalo oko $ac$, tačka $b$ opisaće $\bigcirc ab$, a tačka $d$, $\bigcirc ed$, a površinu opisanu od putanje $cd$ označićemo sa $\bigcirc cd$. Neka je dalje $bfg$... poligon upisan u $\bigodot ab$. Ako kroz strane $bf$, $fg$, i tako dalje ovog poligona budemo postavili ravni upravne na $\bigodot ab$, u $\bigodot cd$ postaće poligonalna figura od istog broja strana. Tada se može dokazati, kao i u §-u 23,da je:

$cd:ab=dh:bf=hk:fg=...$

i da je prema tome
$dh+hk+... : bf+fg+...=cd+ab$.

Ako se svaka od ovih strana smanji na nulu kao graničnu vrednost, biće:

$bf+fg+...=\bigcirc ab$ i $dh+hk+...=\bigcirc ed$.

Biće dakle i
$\bigcirc ed:\bigcirc ab=\bigcirc cd:\bigcirc ab$.

Kako je pak
$\bigcirc ed:\bigcirc ab=\sin u:\sin v$

to će biti
$cd:ab=\sin u:\sin v$.

Ako se $ac$ udalji od $bd$ u beskonačnost, ostaće $cd:ab$, pa prema tome i $\sin u :\sin v$, konstantni. A kako je $u=R$ (§ 1) i kako, ako je $dm \mid\mid\mid bn$, $v=z$, biće $cd:ab=1:\sin z$.

Putanju $cd$ označićemo sa $cd \mid\mid ab$.