§13

Ako je $bu \mid\mid\mid am$ i $cp \mid\mid\mid dp$ a $bam + abn = 2R$, biće i $dcp + cdq = 2R$.

Jer neka je $ea = eb$ i $efm = dcp$ (§ 4), pa će biti (pošto je $bam + abn = 2R = abn + abg$) $ebg = eaf$. Tako isto, ako je $bg = af$, biće $\bigtriangleup ebg \equiv \bigtriangleup eaf$, ugao $beg = aef$ i $g$ će se nalaziti na polupravoj $\overrightarrow{fe}$. Dalje će biti $gfm + fgn = 2R$ (pošto je $egb = efa$). Tako isto je i $gn \mid\mid\mid fm$ (§ 6). Prema tome, ako je $mfrs \equiv pcdq$, biće $rs \mid\mid\mid gn$ (§ 7), i $r$ će ležati na pravoj $fg$ ili izmedu tačaka $f$ i $g$ ili van njih (ako nije $cd = fg$, u kom bi slučaju istinitost stava bila očevidna).

I. U prvom slučaju $frs$ ne može biti veće od ($2R - rfm =$) $fgn$, pošto je $rs \mid\mid\mid fm$; tako isto ne može biti ni $frs < fgn$, pošto je $rs \mid\mid\mid gn$; prema tome je $frs = fgn$ i $rfm + frs = gfm + fgn = 2R$. Dakle je $dcp + cdq = 2R$.

II. Ako se $r$ nalazi izvan $fg$, biće $ngr = mfr$. Neka je $mfgn \equiv nghl \equiv lhko$ i td. sve dok $fk$ ne postane $= fr$ ili dok ne počne da premaša $fr$. U oba ova slučaja biće $ko \mid\mid\mid hl \mid\mid\mid fm$ (§ 7). Ako $k$ pada u $r$, ko će padati ujedno sa $rs$ (§ 1), i imaćemo $rfm + frs = kfm + fko = kfm + fgn = 2R$. Ako se pak $r$ nalazi između $h$ i $k$, biće (na osnovu pod I rečenog) $rhl + hrs = 2R = rfm + frs = dcp + cdq$.